Chebyshev模拟滤波器离散化问题分析与解决

刘 冰，赵长山，赵 东，魏宗康

（北京航天控制仪器研究所，北京100039）

Chebyshev模拟滤波器离散化问题分析与解决

刘 冰，赵长山，赵 东，魏宗康

（北京航天控制仪器研究所，北京100039）

针对高阶次、低截止频率的Chebyshev模拟滤波器离散化发散问题，从滤波器阶次、采样步长、截止频率、离散化方法、滤波器种类等方面进行了细致分析，得出定性原因，并针对该问题给出了通用解决方法。通过仿真实例和试验，验证了所提方法的有效性。

Chebyshev滤波器；离散化；采样；截断误差

Abstract：The discretization problem of Chebyshev filter is addressed in this paper．Considering the order，sampling rate，cross frequency，disretizationmethod and filter style，a detailed comparing analysis is given，and two solutions to that problem is also proposed．Finally，simulation example and one experiment results are given to prove the effectiveness of the proposed methods．

Key w ords：Chebyshev filter;discretization;sampling;truncation error

0 引言

在工程实践中，通常需要将信号中特定频率或者频率段的信号滤除，以提取有用信息、抑制噪声。因而滤波器是不可或缺的一部分，在控制科学、信号处理以及信号传输等领域，都有着广泛的应用［1⁃3］。

常见的滤波器有Chebyshev滤波器、Butterworth滤波器等，它们滤波器效果好，理论成熟且有着完备的参数库，设计和使用较为方便，受到实践者的重点关注。但是，这些滤波器通常都是模拟形式表达，无法直接用于计算机控制系统或数字信号处理问题中［4］。可行的方案为先设计一个满足技术指标的模拟滤波器，然后通过对应的离散化方法得到可实施的数字滤波器，最终完成滤波器设计。此外，在直接设计无限长单位冲激响应（IIR）滤波器时，也通常先设计模拟滤波器，再离散化，得到IIR数字滤波器［5］。

滤波器实际设计时，由于存在性能指标以及采样周期等约束条件，模拟滤波器离散会出现数字滤波器不稳定的问题。尤其是系统性能参数约束较严格的情况下，通过模拟滤波器直接离散得到数字滤波器的方法会由于数字滤波器不稳定而失效。

本文通过分析Chebyshev⁃I型模拟滤波器离散化具体问题，总结出了数字滤波器不稳定的原因，并给出了通用可行的解决方案，通过仿真实例证明了方法的有效性。

1 Chebyshev滤波器

1.1 滤波器简介

Chebyshev滤波器的幅度特性表现为在一个频带内（通带或者阻带）具有等波纹特性，可以将精度指标均匀分布在频带内，故在同样通带、阻带性能要求下，可以设计出阶数较低的滤波器。其中，在通带内等波纹的为I型，在阻带内等波纹的为II型，本文以I型滤波器为例。

Chebyshev滤波器的幅度平方函数为：

其中，e为波纹率，e＜1，e越大，波纹越大；Ωc为截止频率；C2N（x）为关于x的Chebyshev多项式；N为滤波器阶数。给定截止频率、通带最大衰减以及阻带最小衰减，即可确定出滤波器中参数e和N，进而通过查表等方法完成滤波器设计。

1.2 Chebyshev滤波器设计

首先给定性能指标，设计出Chebyshev模拟滤波器，选用适当离散化方法，得到对应数字滤波器。假设由给定性能指标算出滤波器阶次N＝5，通带内波动e＝0．5，给定截止频率为Ωc＝0．3rad／s，可得Chebyshev模拟低通滤波器为：

取采样周期T＝0．002s，由于本文中滤波器为低通滤波器，且截止频率较小，故采用双线性变换方法对模拟滤波器进行离散化。将滤波器传递函数G（s）用Matlab中的 “c2d”函数离散化，带入采样周期T，可得G（s）对应的离散传递函数G（z）。

2 滤波器分析

2.1 滤波器稳定性

针对上面设计的模拟和数字滤波器（滤波器系数均采用Matlab Double长度存储），首先分析滤波器稳定性，如图1所示。

显然，数字滤波器并未保持模拟滤波器的稳定性，因而无需讨论2种滤波器的滤波精度和频率特性，重点讨论模拟滤波器离散化造成数字滤波器失稳问题。

2.2 稳定性问题分析

图2给出了5阶Chebyshev模拟滤波器极点分布示意图，这些极点分布在S平面一个特定椭圆左半部分上。其中，椭圆的长轴为bΩc沿着虚轴，短轴为aΩc沿着实轴。

由于0＜e＜1，可得c＞2，则N越大，bΩc、aΩc越小，导致滤波器极点分布椭圆缩向虚轴或者原点，即滤波器的所有极点将趋向虚轴。滤波器阶次越高，截止频率越低，滤波器极点将越趋向虚轴。表1是同样波纹率和截止频率下不同阶数Chebyshev模拟滤波器的极点及幅值。

表1 相同截止频率和波纹率下不同阶次Chebyshev模拟滤波器极点Table 1 The poles distribution of analog Chebyshev filters w ith differentorders and same cut⁃off frequency and ripple contain factor

已知系统极点实部可以决定系统相对稳定性，从表1中可以看出，高阶滤波器相对稳定性更差。此外由于截止频率较小，滤波器极点幅值均较小。

从系统阶次、截止频率、采样时间、离散化方法以及滤波器种类进一步定性对比讨论数字滤波器稳定性问题。若不另加说明，采样时间取0．002s，波纹率为0．5，截止频率为0．3rad／s，离散方式为双线性变换，滤波器种类为 5阶Chebyshev滤波器。采用控制变量法，得到不同条件下数字滤波器稳定性结果，如表2所示。其中，Y表示稳定，N表示不稳定。

表2 不同条件下模拟滤波器离散化对应的数字滤波器稳定性Table 2 The stability properties of digital filters discreted from analog Chebyshev filters w ith different conditions

（1）系统阶次

根据表1和表2中的结果，不难发现，5阶滤波器分母多项式系数阶次最大相差4个数量级；3阶滤波器只相差2个数量级，且3阶数字滤波器保持稳定。此时，若把采样时间改为0．000002s，可以发现，3阶数字滤波器不稳定。5阶滤波器只在采样时间为0．02s以及截止频率为3rad／s时保持稳定。

（2）截止频率

针对5阶滤波器，改变截止频率，考察滤波器变化情况，如表3所示。

表3两种情况中，滤波器分母系数最大相差数量级分别是6和1。当截止频率为3rad／s时，数字滤波器稳定。

（3）采样时间

默认的采样时间为0．002s，根据表2中的结果，若将3阶滤波器采样时间改为0．000002s，该滤波器不稳定；同理，将5阶滤波器采样时间改为0．02s，则对应的数字滤波器稳定。表2表明减小采样时间，可以解决离散化滤波器发散问题。

表3 不同截止频率下数字滤波器极点分布Table 3 The pole distribution of digital filters w ithdifferent cut⁃off frequency

（4）离散化方法

针对3阶和5阶滤波器，分别采用零阶保持、双线性变换和脉冲响应不变法离散。由于本例中设计的是低通滤波器，且截止频率较低，不同离散化方法造成的高频畸变可忽略。由表2可知，不同离散方法对离散结果并不会产生显著影响。同样的采样时间下，采用3种离散化方法，3阶数字滤波器均能保持稳定，而5阶数字滤波器均失去稳定性。

（5）滤波器种类

对同样的截止频率，设计Butterworth和Che⁃byshev滤波器并得到对应数字滤波器。观察表2，同样截止频率和采样时间下，5阶 Chebyshev和Butterworth数字滤波器均不稳定。

2.3 分析结果

由于截止频率低、阶次高，模拟滤波器相对稳定性差，分母多项式系数数量级相差过大，尺度不一。小采样周期下，离散化得到的数字滤波器系数截断误差（量化／截尾）累积效应明显，造成数字滤波器不稳定。

离散化过程中的系数截断误差与数字滤波器设计实施中的量化误差相似，可以借鉴数字滤波器设计实施中对量化误差的分析结果。主要结论为：截止误差与系数比值越大，影响越大；系统极点越集中，影响越大。根据之前的分析，高阶滤波器极点集中，趋向虚轴和原点，且滤波器系数幅值较小，均加剧了截止误差的影响。此外，较小的采样周期大大增加了截止误差的累积效应，使得数字滤波器不稳定。

3 解决方案

由前文的分析可以看出，造成离散化结果不稳定的根源有3点：采样频率高、滤波器阶次高以及截止频率小。采样频率是系统确定的，滤波器阶次由衰减率决定，截止频率由滤波需求确定。为了解决数字滤波器不稳定问题且充分利用高频采样下的数据信息，可以采用如下2种解决方案。

3.1 分级滤波

1）设计滤波器1滤除高频采样数据中高频噪声，滤波器1的截止频率大于最终期望截止频率，且滤波器1的阶次小于最终期望截止频率下衰减率。

2）对通过滤波器1后的数据再次采样，并针对再次采样后的数据进行滤波器设计，类似于第1步中的设计，得到滤波器2，滤波器2的截止频率小于滤波器1的截止频率但大于最终期望截止频率。

3）重复第2步的过程，最后利用滤波器n⁃1的输出，在期望指标下，完成滤波器n的设计。

图3为n＝2时分级滤波示意图。为减小滞后和简化设计，应尽量减少分级滤波器数量。

3.2 级联离散化

1）根据给定滤波器性能指标，设计出5阶Chebyshev模拟滤波器。

2）将设计得到的5阶Chebyshev模拟滤波器传递函数拆成不高于2阶的传递函数级联形式，对这些不高于2阶的传递函数分别离散化。

3）将分别离散化得到的传递函数串联起来，即所求数字滤波器。

4 实验研究

4.1 仿真研究

假设原始系统中存在2种频率的噪声，针对0．3rad／s，如图4所示，设定为100Hz高频噪声以及2Hz的低频噪声，设计分级滤波器。根据此方案，可知设计2级滤波器较为合适，第1级滤波器用来处理高频噪声，第2级用来处理低频噪声。

考虑到Shannon采样定理以及滤波需求，具体设计参数如下：

滤波器1：截止频率20Hz，阶次3，波纹率0．5，采样周期0．002s；

滤波器2：截止频率（0．3／2／pi）0．05Hz，阶次5，波纹率0．5，采样周期0．02s；

高频噪声信号：幅度为1，频率为100Hz，正弦信号；

低频噪声信号：幅度为1，频率为2Hz，正弦信号。

观察图5可以发现，滤波器1很好地滤除了高频噪声。滤波器2在滤波器1的基础上，进一步对低频噪声实现了滤波，最终经过2级滤波器作用，噪声信号得到了很好的抑制。这既证明了方案1对解决滤波器离散化不稳定问题的有效性，又证明了该方案能够保证滤波精度与效果。

4.2 实验研究

在平台系统的调平回路［6］控制中测试本方案。本文设计的Chebyshev滤波器为校正网络（滤波器加控制器）的一部分，用来滤除回路噪声。调平回路的输出为框架角，本文单考察平台外环架框架角。

图6为采用不同离散方案滤波器的调平回路外环框架角输出结果，图6（a）对应的是直接离散化的滤波器，图6（b）对应的是级联离散化的滤波器。回路采用相同的参数与控制器，编写回路控制程序并下载到实际平台系统中，运行平台系统得到图6中的结果。观察图6可以发现，采用直接离散的滤波器会造成控制回路失稳；而采用方案2中的方法来离散化，可以满足调平需求，最终证明了方案2的有效性。

5 结论

本文的研究表明：对于高阶次、低截止频率的Chebyshev滤波器，较小的采样步长会造成离散化截断误差累积，最终使得离散化后的滤波器不稳定；在不改变滤波器约束条件的前提下，采用分级滤波或级联实现滤波器的方法，可以有效规避离散化后滤波器不稳定的问题。本文的结论和解决方案，对于Butterworth型等其他类型滤波器设计同样具有指导意义。

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On Analysis and Solu tion of the Chebyshev Filter Discretization Prob lem

LIU Bing，ZHAO Chang⁃shan，ZHAO Dong，WEIZong⁃kang
（Beijing Institute of Aerospace Control Devices，Beijing 100039）

TN713

A

1674⁃5558（2017）03⁃01346

10．3969／j．issn．1674⁃5558．2017．04．014

刘冰，女，博士，控制科学与工程专业，研究方向为惯性导航、非线性估计。

2016⁃12⁃06