Alexandrov空间的公理体系

张山山,李 扉，姚 卫

(1.河北科技大学理学院，河北石家庄 050018；2.北京林业大学理学院，北京 100081)

Alexandrov空间的公理体系

张山山1,李 扉2，姚 卫1

(1.河北科技大学理学院，河北石家庄 050018；2.北京林业大学理学院，北京 100081)

为了研究Alexandrov空间的内部公理体系和序方面的特征，利用点集拓扑学和Locale理论中的已有结论，将各结构限制到Alexandrov空间的框架中，得到Alexandrov空间的等价刻画。研究结果表明Alexandrov空间在范畴意义下同构于Alexandrov邻域系统、Alexandrov闭包算子、Alexandrov内部算子、Alexandrov导算子等，T0的Alexandrov空间同构于偏序集、对偶等价于完全生成格。Alexandrov空间可以用邻域系统、闭包算子、内部算子、导算子，特殊化序和无点化序进行等价刻画。

拓扑学；Alexandrov空间；邻域系统；闭包算子；内部算子；导算子；特殊化序；完备生成格

Alexandrov空间是由前苏联数学家ALEXANDROV在1937年首次提出的，是指开集族对任意并和任意交都封闭的拓扑空间，其最初的名称有离散空间(Diskrete Räume，不同于现在的离散空间)、有限生成空间(finitely generated space)、主空间(principal space)等，JOHNSTONE在文献[1]中首次称这类空间为Alexandrov空间。可能因为这种拓扑过于简单，同时也和度量拓扑不相符。在随后的30年里，Alexandrov空间并没有多少人去研究。20世纪70年代前关于这方面的学术论文只有1966年的2篇文献[2-3]；20世纪70-80年代仍然没有多少专门研究Alexandrov空间的文章[1,4-5]；20世纪90年代后, Alexandrov空间在数字拓扑领域得到了广泛的应用[6-7], 这是因为Alexandrov空间和数字拓扑中的有限拓扑空间有很多相似的性质, 这个观点在文献[2—3]中也有体现,比如Alexandrov空间范畴是有限拓扑空间范畴的反射壳[5]。文献[8]以数字拓扑的角度从基、分离性、连通性、函数空间、拟一致结构等方面对Alexandrov的空间进行了系统论述和研究。进入21世纪后, 对Alexandrov空间的研究主要集中在以下几方面。1) 在粗糙集理论中，这是因为Pawlak粗糙集对应的拓扑空间恰是Alexandrov空间, 并且等价关系和满足对称分离性的Alexandrov空间之间具有一一对应关系[9-11]；2) 在模糊拓扑学中, 模糊形式的Alexandrov拓扑得到了研究[12-15]；3) 在数字拓扑学中, Alexandrov空间继续被推广为局部有限空间(每个点只有有限个开邻域)[16-18], 这种局部有限性可以很好地描述数字拓扑的局部特征。

1 Alexandrov空间中的开集和闭集, 邻域与邻域系统

定义1 设X是一个集合,T是X的一个子集族。如果T满足如下条件：

AT1)X，∅∈T;

AT2)若{Ai|i∈I}⊆T,则∩iAi∈T;

AT3)若{Ai|i∈I}⊆T,则∪iAi∈T,

则称T是X的一个Alexandrov拓扑, 称偶对(X,T)是一个Alexandrov空间。

显然，每一个具有有限个开集的拓扑空间是一个Alexandrov空间, 每一个建立在有限集上的拓扑空间是一个Alexandrov空间。另外，Alexandrov空间的闭集族也满足公理条件(AT1-AT3)。

定义2 设X是一个非空集合, 如果每一个x∈X都对应X的一个子集族Ux并满足:

N1)对于任何x∈X,Ux≠∅;并且如果U∈Ux,则x∈U;

N2)如果U,V∈Ux,则U∩V∈Ux;

N3)如果U∈Ux,并且U⊆V,则V∈Ux;

N4)如果U∈Ux,则存在V∈Ux满足条件:

i)U⊆V和ii)对于任何y∈V,有V∈Uy, 那么集族U={Ux|x∈X}称为X上的一个拓扑邻域系统, 偶对(X,U)称为一个拓扑邻域空间。

定义3 设U={Ux|x∈X}是集合X上的一个拓扑邻域系统, 如果有：

TN)对于任意的x∈X, 如果{Ui|i∈I}⊆Ux,则∩iUi∈Ux,那么映射U称为X上的一个Alexandrov拓扑邻域系统。

定理1 设T是集合X上的一个Alexandrov拓扑,U是X上的一个Alexandrov拓扑邻域系统, 则有：

1) UT是X上的Alexandrov拓扑邻域系统;

2) TU是X上的一个Alexandrov拓扑。

证明 1)设{Ui|i∈I}⊆Ux, 则存在开集族{Vi|i∈I}使得对于每一个i∈I都有x∈Vi⊆Ui,从而x∈∩iVi⊆∩iUi。由∩iVi是一个开集知，∩iUi∈Ux。

2)只需验证TU对任意交封闭。设{Ai|i∈I}⊆TU, 任取x∈∩iAi, 则对于任意的i∈I都有x∈Ai, 从而Ai∈Ux,进而∩iAi∈Ux。

注1 令ATNgh为由Alexandrov拓扑邻域空间构成的TNgh的满子范畴, 则由定理1知,ATNgh与ATop同构。

2 Alexandrov算子

2.1Alexandrov闭包算子

点集拓扑学中的闭包算子是1922年KURATOWSKI在文献[20]中首次引入的。

定义4 设X是一个非空集合, 如果映射Cl:2X→2X满足：

C1)Cl(∅)=∅;

C2)对于任意的A⊆X,有A⊆Cl(A);

C3)对于任意的A,B⊆X,有Cl(A∪B)=Cl(A)∪Cl(B);

C4)对于任意的A⊆X,有Cl(Cl(A))=Cl(A),

那么称Cl为X上的一个(Kuratowski)闭包算子,称偶对(X,Cl)为一个闭包算子空间。

对于非空集合X上的一个拓扑X, 令ClT:2X→2X为

ClT(A)={x∈X|∀U∈Ux,U∩A≠∅}(∀A⊆X),

则ClT是X上的一个闭包算子; 反过来, 对于非空集合X上的一个闭包算子Cl,

TCl={A⊆X|Cl(A′)=A′}

是X上的一个拓扑;而且有TClT=T和ClTCl=Cl[19]。拓扑空间和闭包算子的这种等价性, 如果用范畴论的语言来描述, 那就是拓扑空间范畴Top和闭包算子空间范畴Cl同构,其中Cl中的态射：称f:(X,ClX)→(Y,ClY)是闭包算子空间之间的连续映射, 如果对于任意的A⊆X,有f(ClX(A))⊆ClY(f(A))。

定义5 设X是一个非空集合,Cl:2X→2X是一个闭包算子, 如果

CA)对于任意的{Ai|i∈I}⊆2X,有Cl(∪iAi)=∪iCl(Ai), 那么映射Cl称为X上的一个Alexandrov闭包算子。

定理2 设X是一个非空集合, 则

1) 若T是X上的一个Alexandrov 拓扑, 则ClT是X上的Alexandrov闭包算子;

2) 若Cl:2X→2X是一个Alexandrov闭包算子,TCl是X上的一个Alexandrov拓扑。

2)设{Ai|i∈I}⊆TCl, 则

Cl((∩iAi)′)=Cl(∪iAi)=∪iCl(Ai)=∪iAi=(∩iAi)′,

从而∩iAi∈TCl。这说明TCl对任意交封闭。因此，TCl是X上的一个Alexandrov拓扑。

注2 令ACl为由Alexandrov闭包算子空间构成的Cl的满子范畴, 则由定理2知, ACl与ATop同构。

2.2 Alexandrov内部算子

内部算子是闭包算子的对偶形式, 同样拓扑空间和内部算子也可以相互唯一确定。

定义6 设X是一个非空集合, 如果映射Int:2X→2X满足：

I1)Int(X)=X;

I2)对于任意的A⊆X,有Int(A)⊆A;

尽管各个高校财务部门想尽种种办法，但因每天财务部门所能处理的总体业务量有限，只能在排队时间和人数总量上稍微有所限制。财务预约报销 “排队时间长、手续繁琐、下班时仍有师生不愿离去”导致报账人员办理报销业务时和财务人员的矛盾冲突频发，探究其根本原因：

I3)对于任意的A,B⊆X,有Int(A∩B)=Int(A)∩ Int(B);

I4)对于任意的A⊆X,有Int(Int(A))=Int(A),

那么称Int为X上的一个内部算子,称偶对(X,Int)为一个内部算子空间。

对于非空集合X上的一个拓扑T,令IntT:2X→2X为

IntT(A)=∪{B∈T|B⊆A}(∀A⊆X),

则IntT是X上的一个内部算子; 反过来, 对于非空集合X上的一个内部算子Int,

TInt={A⊆X|Int(A)=A}是X上的一个拓扑;而且有TIntT=T和IntTInt=Int[19]。拓扑空间和闭包算子的这种等价性, 如果换成范畴论的语言来描述, 那就是拓扑空间范畴Top和内部算子空间范畴Int同构, 其中Int中的态射: 称f:(X,IntX)→(Y,IntY)是内部算子空间之间的连续映射, 如果对于任意的B⊆Y, 都有f-1(IntY(B))⊆IntX(f-1(B))。

定义7 设Int:2X→2X是集合X的一个内部算子, 如果有：

IA) 对于任意的{Ai|i∈I}⊆2X,Int(∩iAi)=∩iInt(Ai), 那么称Int为X上的一个Alexandrov内部算子。

定理3 设X是一个非空集合, 则：

1)若T是X上的一个Alexandrov拓扑, 则IntT是X上的Alexandrov内部算子;

2)若Int:2X→2X是一个Alexandrov内部算子, 则TInt是X上的一个Alexandrov拓扑。

证明 1)只需证对于任意的集族{Ai|i∈I}⊆2X都有IntT(∩iAi)⊇∩iIntT(Ai)。事实上, 由于每一个IntT(Ai)都是开集, 则∩iIntT(Ai)是包含于∩iAi的开集。由内部算子的定义可知,IntT(∩iAi)⊇∩iIntT(Ai)。

2)设{Ai|i∈I}⊆TInt,则Int(∩iAi)=∩iInt(Ai)=∩iAi,从而∩iAi∈TInt。这说明TInt对任意交封闭。因此，TInt是X上的一个Alexandrov拓扑。

注3 令AInt为由Alexandrov内部算子空间构成的Int的满子范畴, 则由定理3知,AInt与ATop同构。

2.3Alexandrov导算子

定义8 设X是一个非空集合,如果映射d:2X→2X满足：

D1)d(∅)=∅;

D2)对于任意的x∈X,有x∉d({x});

D3)对于任意A⊆X,有d(A∪B)=d(A)∪d(B);

D4)对于任意A⊆X,有d(d(A))⊆A∪d(A),

则称d为X上的一个导算子,称偶对(X,d)为一个导算子空间。

在其他条件成立的前提下,D2)还可以写成

对于集合X上的一个导算子d,集族

Td={A⊆X|d(A′)∩A=∅}={A⊆X|d(A′)⊆A′}

是X上的一个拓扑;对于X上的一个拓扑T,定义dT:2X→2X为

dT(A)={x∈X|∀U∈Ux,U∩(A-{x})≠∅}(∀A⊆X),

则dT是X上的一个导算子;并且有dTd=d和TdT=T。拓扑空间和导算子的这种等价性, 如果换成范畴论的语言来描述, 那就是拓扑空间范畴Top和导算子空间范畴Dr同构, 其中Dr中的态射:称f:(X,dX)→(Y,dY)是导算子空间之间的连续映射,如果对于任意的A⊆X,都有f(dX(A))⊆f(A)∪dY(f(A))。

定义9 设d:2X→2X是集合X的一个导算子, 如果有：

DA)对于任意的{Ai|i∈I}⊆2X,d(∪iAi)=∪id(Ai),那么映射d称为上的一个Alexandrov导算子。

定理4 设T是集合X上的一个Alexandrov拓扑,d:2X→2X是一个Alexandrov导算子, 则

1)dT是X上的Alexandrov内部算子;

2)Td是X上的一个Alexandrov拓扑。

证明 1)只需证对于任意的集族{Ai|i∈I}⊆2X都有dT(∪iAi)⊆∪idT(Ai)。事实上,首先有x∈dT(A)当且仅当V(x)∩(A-{x})≠∅。如果x∈dT(∪iAi),则

∪i[V(x)∩(Ai-{x})]=V(x)∩(∪iAi-{x})≠∅,

于是存在i0∈I使得V(x)∩(Ai0-{x})≠∅,即x∈dT(Ai0),故x∈∪idT(Ai)。

2)设{Ai|i∈I}⊆Td,则

d((∩iAi)′)=d(∪iAi)=∪id(Ai)⊆∪iAi=(∩iAi)′,

从而∩iAi∈Td。这说明Td对任意交封闭，因此Td是X上的一个Alexandrov拓扑。

注4 令ADr为由Alexandrov导算子空间构成的Dr的满子范畴, 则由定理4知,ADr与ATop同构。

2.4 其他衍生的Alexandrov算子

2.4.1Alexandrov外部算子

拓扑空间的外部算子是由闭包算子衍生出来的一个算子。

定义10 设X是一个非空集合,e:2X→2X是一个映射, 如果

E1)e(∅)=X;

E2)对于任意A⊆X,有e(A)⊆A′;

E3)对于任意A⊆B⊆X,有e(A∪B)=e(A)∩ e(B);

E4)对于任意A⊆X,有e((e(A))′)=e(A),

则称e为X上的一个外部算子。如果外部算子e还满足:

EA)对于任意{Ai|i∈I}⊆2X,有e(∪iAi)=∪ie(Ai),

则称e为X上的一个Alexandrov外部算子。

注5 1) 拓扑空间和外部算子可以相互唯一确定。设(X,T)是一个拓扑空间,则外部算子eT:2X→2X定义为

eT(A)=∪{U∈T|U∩A=∅}=(ClT(A))′;

反过来, 对于集合X上的一个外部算子e,Te={A⊆X|e(A′)=A}是X上的一个拓扑;而且有eTe=e和TeT=T。

2) Alexandrov空间和Alexandrov外部算子可以相互唯一确定, 即如果e:2X→2X是一个Alexandrov外部算子,则Te是X上的一个Alexandrov拓扑, 如果T是X上的一个Alexandrov拓扑, 则eT是X上的一个Alexandrov外部算子。

3) 外部算子空间构成的范畴Ext和拓扑空间范畴Top同构; Alexandrov外部算子空间构成的Ext的满子范畴AExt和Alexandrov空间范畴ATop同构,这里称f:(X,eX)→(Y,eY)是外部算子空间之间的连续映射,如果对于任意的B⊆Y,都有f-1(eY(B))⊆eX(f-1(B))。

2.4.2 Alexandrov边界算子

拓扑空间的边界算子是由闭包算子或内部算子衍生出来的一个算子。设(X,T)是一个拓扑空间, 则外部算子bT:2X→2X定义为bT(A)=ClT(A)∩ClT(A′)=(IntT(A)∪IntT(A′))′。

定义11 设X是一个非空集合,b:2X→2X是一个映射, 如果

B1)b(X)=b(∅)=∅;

B2)对于任意A⊆X,有b(A)=b(A′);

B3)对于任意A⊆X,有b(b(A))⊆b(A);

B4)对于任意A,B⊆X,有A∩B∩b(A∩B)=A∩B∩(b(A)∪b(B))。

则称b为X上的一个边界算子。如果边界算子b还满足:

BA)对于任意{Ai|i∈I}⊆2X,有(∩iAi)∩b(∩iAi)=(∩iAi)∩(∪ib(Ai))。

则称b为X上的一个Alexandrov边界算子。

注6 1)拓扑空间和边界算子可以相互唯一确定。设(X,T)是一个拓扑空间,则外部算子bT:2X→2X定义为

bT(A)=ClT(A)∩ ClT(A′)=(IntT(A)∪IntT(A′))′;

反过来, 对于集合X上的一个边界算子b,Tb={A⊆X|b(A′)∩A=∅}是X上的一个拓扑; 而且有bTb=b和TbT=T。

2)Alexandrov空间和Alexandrov边界算子可以相互唯一确定,即如果b:2X→2X是一个Alexandrov边界算子,则Tb是X上的一个Alexandrov拓扑,如果T是X上的一个Alexandrov拓扑, 则bT是X上的一个Alexandrov边界算子。

3) 边界算子空间构成的范畴Bnd和拓扑空间范畴Top同构; Alexandrov边界算子空间构成的Bnd 的满子范畴ABnd和Alexandrov空间范畴ATop同构,这里称f:(X,bX)→(Y,bY)是边界算子空间之间的连续映射, 如果对于任意的A⊆X,都有f(bX(A))⊆f(A)∪bY(f(A))。

3 Alexandrov空间的格序特征

3.1 Alexandrov空间与偏序集

通常用拓扑空间的特殊化序和预序集上的上(下)集建立拓扑空间和二元关系之间的联系。1966年, MCCORD[2]和STEINER[3]分别独立地发现了偏序集范畴和T0拓扑空间范畴之间的范畴同构。

设(X,T)是一个拓扑空间,定义X上的二元关系≤T为

x≤Ty⟺Ux⊆Uy

则≤T是X上的一个预序, 并且(X,T)是一个T0空间当且仅当≤T是X上的一个偏序。

反过来,设(X,≤)是一个预序集,令γ(X)为X的所有上集构成的集合,则(X,γ(X))是一个的Alexandrov空间, 并且(X,≤)是一个偏序集当且仅当(X,γ(X))是一个T0的Alexandrov空间。

于是ATop同构于预序集范畴POrd[5,21],T0的Alexandrov空间范畴ATop0同构于偏序集范畴POS[2-3]。

3.2 Alexandrov空间的无点化刻画

对于每个拓扑空间(X,T),偶对(T,⊆)是一个空间式Frame, 即由素元交生成的完备格(可以证明由素元交生成的完备格自然就是一个Frame); 反过来, 对于每个完备格, 则其全体素元构成的集合带上谱拓扑是一个Sober空间。由此可以得到Sober空间范畴和空间式Frame范畴之间的对偶等价[1]。对于Alexandrov空间,BONSANGUE等[22]通过引入ObservationFrame建立了T0的Alexandrov空间的对偶形式为完备素元交生成的完备格。

对于Frame, 所有素元、所有从该Frame到二元格的Frame同态和所有完备素滤子这三者之间存在一一对应关系, 因此可以分别在3个集合上建立相应的拓扑, 最后都能得到对偶等价的结论。为此在文献[23]中, 姚卫和韩相彦利用完备素元交生成格的自对偶性以及这种格上的所有素元、所有余素元和所有到二元格的完备格同态之间的一一对应,以完备格同态为基础建立了T0的Alexandrov空间的对偶形式及其模糊形式。

本节的目的是以余素元为基础重现T0的Alexandrov空间的对偶形式, 利用余素元使得这种对偶更加直观和简洁。

定义12 设L是一个完备格,b∈L称为完备余素元,如果b≤∨S可推出存在s∈S使得b≤s。记c(L)为L的全体完备余素元之集(注意c(L)有可能为空集, 如单位区间)。如果对于任意的a∈L,都有a=∨{b∈c(L)|b≤a}, 则称L为一个完备余素元生成格, 简称完全生成格。令CGLat为由完全生成格及其完备格同态构成的范畴。

从定义可以看出, 每一个完全生成格都是一个完全分配格, 因为沿仿照Domain理论[24-25]中的术语, 完备余素元实际上是相对于三角小于关系的紧元,从而完全生成格之于完全分配格类似于代数格之于连续格。

定理5 设(X,T)是一个Alexandrov空间,则c(T)={V(x)|x∈X}。

证明 设U∈c(T),则U=∪x∈UV(x),于是存在x0∈U使得U=V(x);反过来,设V(x)⊆∪iUi,则存在i0∈I使得x∈Ui0。由V(x)的最小性知,V(x)⊆Ui0。故V(x)∈c(T)。

定理6 每一个Alexandrov空间的开集格都是一个完全生成格。

证明 对于任意开集U都有U=∪x∈UV(x),于是该定理是定理5的直接推论。

定理7 设f:(X,T)→(Y,S)是Alexandrov空间之间的连续映射,则f-1:S→T是一个完备格同态。

该定理证明是直接的, 这是因为(X,T)和(Y,S)对任意交和任意并都封闭,而f-1:2Y→2X恰好保任意交和任意并。

这样,可以得到一个函子V:ATop0→CGLatop,V(X,T)=(T,⊆),V(f)=(f-1)op。

定理8 设A是一个完备格,则c(A)是一个偏序集,赋予下拓扑γ(c(A))成为T0的Alexandrov空间。

该定理不需要证明, 因为每个偏序集上的下拓扑都是一个T0的Alexandrov空间。

定理9 设g:A→B是完备格同态,定义G(g):c(B)→c(A)为G(g)(b)=g*(b),其中g*是g的左伴随(定义见文献[24]), 则G(g):c(B)→c(A)是一个连续映射。

证明 只需证明G(g)是一个定义好的映射, 其连续性可由保序性(而这是显然的)直接推得。 设b∈c(B)且g*(b)≤∨iai,则b≤g(∨iai)=∨ig(ai), 从而存在i0∈I使得b≤g(ai0),这等价于g*(b)≤ai0,故G(g)是一个定义好的映射。

这样, 得到了另一个函子G:CGLatop→ATop0,具体为G(A)=(c(A),γ(c(A))),G(g)=g*。

定理10 设(X,T)是一个T0的Alexandrov空间,则(c(T),γ(c(T)))同胚于(X,T)。

证明 易见，V:X→c(T)(xV(x))定义了一个一一映射(其中单射性用到(X,T)的T0分离性)。

首先,V是一个开映射,即若U∈T,则V(U)={V(x)|x∈U}是c(T)的一个下集。实际上,如果V(y)⊆V(x)且x∈U,则Ux⊆Uy,于是U∈Uy,y∈U。故V(y)∈V(U),V(U)是c(T)的一个下集。

其次,V是一个连续映射,即若W是c(T)的下集,则V-1(W)={x∈X|V(x)∈W}∈T。实际上,若x∈V-1(W),则V(x)∈W。任取y∈V(x),有V(y)⊆V(x)。由W是下集知,V(y)∈W,即y∈V-1(W)，从而V(x)⊆V-1(W)或者V-1(W)∈Ux。故V-1(W)∈T。

因此，(c(T),γ(c(T)))同胚于(X,T)。

定理11 设A是一个完全生成格, 则A与γ(c(A))完备格同构。

证明 对于任意的a∈A,令Φ(a)=↓a∩c(A),则Φ:A→γ(c(A))是一个映射,且由A是完全生成格知,Φ是一个单射。

首先,Φ是满射。设W是c(A)中的下集,令a=∨W,则W⊆↓a∩c(A)=Φ(a); 另外对于任意的b∈Φ(a),有b∈c(A)且b≤∨W，从而存在w∈W使得b≤w,由W是下集知b∈W,故Φ(a)⊆W。故W=Φ(a)。

其次,Φ是完备格同态。实际上,Φ(0)=↓0 ∩c(A)=∅,Φ(1)=↓1 ∩c(A)=c(A);对于任意的{ai|i∈I}⊆A,有：

Φ(∧iai)=↓(∧iai)∩c(A)=(∩i↓ai)∩c(A)=∩i(↓ai∩c(A))=∩iΦ(ai),

Φ(∨iai)=↓(∨iai)∩c(A)=(∪i↓ai)∩c(A)=∪i(↓ai∩c(A))=∪iΦ(ai),

因此，A与γ(c(A))完备格同构。

定理12 ATop0对偶等价于CGLat。

3.3 偏序集范畴与完全生成格范畴的对偶等价

由于ATop0与POS同构、与CGLat对偶等价, 因此POS与CGLat对偶等价, 具体对应关系为偏序集的所有下集构成的集族在包含序下是一个完全生成格, 完全生成格的所有完备余素元之集是一个偏序集。这种对应关系类似于Domain理论中的偏序集范畴与代数Domain范畴之间的关系(其中偏序集的理想和代数Domain的way-below紧元是纽带)。

/References:

[1] JOHNSTONE P T. Stone Spaces[M].New York: Cambridge University Press. 1986.

[2] MCCORD M C. Singular homology and homotopy groups of finite topological spaces[J]. Duke Mathematical Journal, 1966, 33(3):465-474.

[3] STEINER A K. The lattice of topologies: Structure and complementation[J]. Transactions of the American Mathematical Socity, 1966, 122(2): 379-398.

[4] HERRLICH H, STRECKER G E. Coreflective subcategories in general topology[J]. Fundamenta Mathematicae, 1972, 73(73):199-218.

[5] HOFFMANN R E. Reflective hulls of finite topological spaces[J]. Archiv der Mathematik, 1979, 33(1):258-262.

[6] HERMAN G T. On topology as applied to image analysis[J]. Computer Vision Graphics & Image Processing, 1990, 52(3):409-415.

[7] KRONHEIMER E H. The topology of digital images[J]. Topology & Its Applications, 1992, 46(3):279-303.

[8] ARENAS F G. Alexandrov spaces[J]. Acta Math Univ Comenianae, 1999, 68(1): 17-25.

[9] HAO Jing, LI Qingguo. The relationship betweenL-fuzzy rough set andL-topology[J]. Fuzzy Sets & Systems, 2011, 178(1):74-83.

[10]LI Zhaowen, XIE Tusheng, LI Qingguo. Topological structure of generalized rough sets[J]. Computers & Mathematics with Applications, 2012, 63(6):1066-1071.

[11]PEI Zhi, PEI Daowu, ZHENG Li. Topology vs generalized rough sets[J]. International Journal of Approximate Reasoning, 2011, 52(2):231-239.

[12]CHEN Piwei, ZHANG Dexue. AlexandrovL-co-topological spaces[J]. Fuzzy Sets & Systems, 2010, 161(18):2505-2514.

[13]FANG Jinming.I-fuzzy Alexandrov topologies and specialization orders[J]. Fuzzy Sets & Systems, 2007, 158(1):2359-2374.

[14]FANG Jinming, QIU Yue. Fuzzy orders and fuzzifying topologies[J]. International Journal of Approximate Reasoning, 2008,48(1):98-109.

[15]LAI Hongliang, ZHANG Dexue. Fuzzy preorder and fuzzy topology[J]. Fuzzy Sets & Systems, 2006, 157(14):1865-1885.

[16]KOVALEVSKY V. Axiomatic digital topology[J]. Journal of Mathematical Imaging and Vision,2006,26(1/2):41-58.

[17]KOVALEVSKY V A. ANNOUNCEMENT:Geometry of locally finite spaces[J].International Journal of Shape Modeling,2008,14(2):231-232.

[18]HAN S E. Extension of continuity of maps between axiomatic locally finite spaces[J]. International Journal of Computer Mathematics, 2011, 88: 2889-2900.

[19]熊金成. 点集拓扑讲义[M]. 4版.北京：高等教育出版社，2011.

[20]KURATOWSKI K. Sur l’operation A de l’analysis Situs[J]. Fundamenta Mathematicae, 1922, 3:182-199.

[21]NATURMAN C A. Interior Algebras and Topology[D]. Capetown:University of Cape Town, 1990.

[22]BONSANGUE M M, JACOBS B, KOK J N. Duality beyond sober spaces: Topological spaces and observation frames[J]. Theoretical Computer Science, 1995, 151(1):79-124.

[23]YAO Wei, HAN S E. A Stone-type duality forsT0stratified AlexandrovL-topological spaces[J]. Fuzzy Sets and Systems, 2016, 282:1-20.

[24]DAVEY B A, PRIESTLEY H A. Introduction to Lattices and Order[M]. New York:Cambridge University Press, 2002.

[25]GIERZ G, HOFMANN K H, KEIMEL K, et al. A Compendium of continuous lattices[J]. Springer-Verlag, 1980,29(3):189-224.

Axiomatic systems of Alexandrov spaces

ZHANG Shanshan1， LI Fei2， YAO Wei1

(1.School of Science, Hebei University of Science and Technology, Shijiazhuang，Hebei 050018， China；2.School of Science, Beijing Forest University, Beijing 100081， China)

In order to study internel axiomatic systems and ordered features of Alexandrov spaces, with the help of some existed results in topology and locale theory, by restricting the related structures into Alexandrov setting, some equivalent descriptions are obtained. The results show that Alexandrov spaces are categorically isomorphic to Alexandrov neighborhood systems, Alexandrov closure operators, Alexandrov interior operators and Alexandrov derived operators;T0Alexandrov spaces are isomorphic to posets and dual to complete-generated lattices. Alexandrov spaces can be completely characterized by neighborhood systems, closure operators, interior operators, derived system, the specialization order and the point-free order.

topology; Alexandrov space； neighborhood system； closure operator； interior operator； derivation operator； specialization order； complete-generated lattice

2016-12-12；

2017-03-08；责任编辑：张 军

国家自然科学基金(11201112)；中央高校基本科研业务专项资金项目(2017JC09)；河北省高等学校科学技术研究项目重点项目(ZD2016047)

张山山(1992—)，女，河北唐山人，硕士，主要从事拓扑学与格论方面的研究。

李 扉副教授。E-mail: feifei_1004@bjfu.edu.cn；姚 卫教授。E-mail：yaowei0516@163.com

1008-1542(2017)04-0352-08

10.7535/hbkd.2017yx04006

O189MSC(2010)主题分类：54A

A

张山山, 李 扉，姚 卫.Alexandrov空间的公理体系[J].河北科技大学学报,2017,38(4):352-359. ZHANG Shanshan，LI Fei，YAO Wei.Axiomatic systems of Alexandrov spaces[J].Journal of Hebei University of Science and Technology,2017,38(4):352-359.