对教师理解数学的重要性的探究

钟进均

【摘 要】 数学学科知识、一般教学法知识和数学学习知识等对于数学教师来说都是必需的.教数学的第一要素是精通数学学科知识，钻研数学教学内容.教师理解好数学，是教好数学的前提，包括要理解数学概念，理解数学思想方法，理解数学知识的结构和联系，理解数学知识的表征方式，理解数学知识的文化背景.

【关键词】 教师；理解数学；重要性

1986年美国的舒尔曼（Lee S. Shulman）教授首次提出学科教学知识的概念，即Pedagogical Content Knowledge，简称PCK，将其定义为“教师个人教学经验、教师学科内容知识和教育学的特殊整合”.舒尔曼试图在教师资格认证制度中重新重视学科知识在教学中的重要性，指出学科问题对教学很重要，如教师对学科的理解如何影响他们的教学质量[1].按照“教与数学对应原理”，教数学的第一要素是精通数学，钻研数学教学内容.一个对数学认识浅薄的人是无论如何也不能成为好数学教师的[2].因此，教师要重视对数学的理解.

1 教师理解数学的重要意义

高水平的数学教师应能将数学知识“深入浅出”地传授给学生.能否“深入”，取决于教师本身的数学水平；能否“浅出”，取决于教师的教学水平.数学教师的数学水平，主要表现在教师对数学知识的通透理解上.“当前教师培训和研修中，过分倚重于教学理念和方法，而数学学科知识则受到冷落.许多教师往往对教学方法研究情有独钟：研究教学导入艺术，研究指导探究的艺术，研究练习设计的艺术……但作为一名数学教师，却唯独忘了研究那些貌似简单却内涵深刻的数学知识”，“在目前的数学教学中，存在着一种‘会而不懂的现象，即学生会机械做题，但不太理解数学，数学学习演变成了一种形式化的、无意义的、机械式的解题训练”，“数学教师的数学理解水平，直接决定了学生的数学理解水平，影响到学生的数学能力的发展”[3].数学教师首先要“教得对”，也就是教给学生正确无误的知识，然后才是“教得好”，即教学效果好.否则，数学教师就会误人子弟.

2 教师理解数学的几个重要方面

2.1 理解数学概念

“概念是事物本质的反映，是对一类事物概括的表征”，“概念学习是知识学习的最基本形式”[4].数学概念是反映数学对象的本质属性的思维产物[5].“数学概念的形成过程是一个归纳、概括、抽象的过程”，“数学概念从其形式上看，它是中学数学的表层知识.但是，一个数学概念的背后往往是蕴含着丰富的数学思想，有的数学概念本质上就是一种数学观念，是分析、处理问题的一种策略和基本方法.理解、掌握蕴含于数学概念中的思想方法，始终是数学概念教学的重要议题”，“数学概念的理解，并不是对孤立的单一概念的简单分析，往往涉及与之有着逻辑联系的相关概念和有着非逻辑联系的概念.每个概念都是认知网络结构中的一员，对它的理解的深刻与否，除了取决于对内部图式结构的认识外，很大程度上取决于它与相关知识的联系的多少与强弱”，“对一个数学概念的学习，并不是仅仅能记住它、说出它的定义、认识代表它的符号，而是要真正能够把握它的本质属性.尽管在数学对象的定义里已经反映了概念的本质属性，但要真正把握它的本质属性并不是那么容易的”[2].数学概念教学是数学教学的核心.因此，教师要准确理解和掌握数学概念.

如在概率中，对于基本事件的认识，有人认为基本事件是绝对的，也有人认为它是相对的[3].在依照基本事件的定义（在一个特定的随机试验中，称每一个可能出现的结果为一个基本事件）难以对基本事件的本质确切理解的情况下，我们通过查阅资料和求教专家可知，其实基本事件的确定依赖于样本空间的构造.对于同一个随机试验，分析问题时选取不同的角度，就会得到不同的样本空间，相应的基本事件也会各不相同.比如投掷一枚骰子，求正面出现的点数为奇数的概率.若记事件A为“正面出现的点数为奇数”，用ei（i∈{1，2，3，4，5，6}）表示“正面出现的点数为i”这一基本事件，那么基本事件的空间Ω={e1，e2，e3，e4，e5，e6}，共包含了6个基本事件，此时事件A包含了e1，e3，e5这3个基本事件，故P（A）=36=12.如果把这一随机试验的结果看成是由“正面出现的点数为奇数”（即事件A）、“正面出现的点数为偶数”（记为“事件A”）这两个基本事件构成的，此时Ω={A，A}，故P（A）=12.解法不同，但结果一样.可见，基本事件是相对的，而不是绝对的[3].

又如，直线的斜率为k=tan α，其中α是该直线的倾斜角.为什么k=tan α，而不是k=sin α或者k=cos α？从建立直线方程的角度来看，直线上的动点P（x，y）与作为不变量的倾斜角α不能直接建立起关系，还必须将倾斜角α进一步代数化，变量（x，y）与不变量——斜率k才能建立起关系.在对倾斜角α进行代数化时，之所以使用了正切而不是正弦或余弦，是因正切函数的单调递增性，即无论α是锐角还是钝角，此时都是倾斜角α越大，则斜率k越大，正弦和余弦函数就达不到如此的实际效果[6].

所以，我們要理解概念的内涵和外延，注重概念的形成过程和表征方式，注重概念蕴含的数学思想方法.

2.2 理解数学思想方法

涂荣豹教授指出：“我国的数学教育从来都是把具体数学知识的学习放在第一位，殊不知学过数学的绝大部分人都会把那些具体的数学内容遗忘掉，惟有数学学习中留在心灵深处的数学精神和数学思维方法刻骨铭心，永不磨灭”[2].“如果说表层知识可以用文字和符号来记录和描述，那么思想方法与知识技能融于一体，这样，思想方法有载体，知识技能有灵魂，才能真正帮助学生理解数学”[3].因此，教师要加强对数学思想方法的理解.

数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题.通常混称为“数学思想方法”.常见的数学四大思想为：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合[3].