运行参数对静压气体轴承动力学特性的影响

李健，杨少柒，李晓明，李青

（1.航天低温推进剂技术国家重点实验室，北京 100190；2.华中科技大学 能源与动力工程学院，武汉 430074；3.中国科学院大学，北京 100049）

气体轴承是以气体为润滑介质的轴承，具有高速、清洁和高精度的优点，广泛应用于低温工程、精密工程、空间技术、医疗器械等工程领域。在低温领域，尤其在大型低温系统中，主要靠透平膨胀机的膨胀降温，因此，其支承设备需要满足较高的转速及稳定性要求；但由于气体的黏度低，导致其刚度和阻尼小于其他形式的轴承，稳定性较差［1］。

文献［2］提出利用动刚度及动阻尼系数来描述轴承的动力学特征，此后，国内外针对气体轴承动力学参数的研究迎来新的篇章。计算轴承的特性系数就要求解可压缩润滑方程，通过提出一些简化方法来求得其近似解析解，但其应用条件及计算精度均有较多限制。随着数值计算方法的发展，一些学者又通过数值计算的方法来求解动力学特性参数。文献［3］首先把轴承和转子结合为一个系统，研究了轴承-转子系统的稳定性问题，并提出了应用8个线性化刚度以及阻尼系数的模型。文献［4］将气体轴承的动态压力以及动态气膜厚度通过多个小扰动量来表示，并关注扰动频率对气体轴承动力学参数的影响，但并没有给出相关的计算结果。文献［5-6］利用动载荷法，通过试验测量转子的质量动力学响应，获得系统的动态刚度以及阻尼系数。文献［7］通过偏导数法求解了弹性箔片轴承的动力学特性问题。文献［8-9］同样采用偏导数法求解了动压气体轴承以及止推轴承的动力学特性，并且分析了扰动频率以及承载载荷对动力学参数的影响。

文中采用偏导数法，主要针对静压气体轴承的动力学参数进行求解，分析静压气体轴承运行参数对轴承动力学参数及稳定性的影响。

1 基本理论与计算方法

1.1 静压气体轴承静态润滑方程

静压气体轴承结构如图1所示。图中，D为轴颈直径；d为供气孔直径；B为轴承宽度；B1为供气孔位置到轴承边缘的距离；θ0为静态时轴颈的偏位角；φ为量纲一的周向坐标；φ＝0处为偏心方向。

图1 静压气体轴承结构示意图Fig.1 Structure diagram of externally pressurized gas bearing

转子悬浮依靠外部供气（偏心率不为0）及转子旋转产生的动压效应来提供支承力。转子间的气膜间隙在微米量级，为轴承直径的0.001倍，因此可以忽略气体在气膜厚度方向上的流动，仅考虑周向和轴向方向的流动，其误差在允许范围内。由于气体的黏性较小，在气膜与转子之间产生的摩擦热很小，可以迅速通过热传导将热量传递出去，因此，气体的流动可以看成是等温流动。综上简化，气体润滑方程量纲一的形式为［1］

式中：P为量纲一的压力；H为量纲一的气膜厚度；Cr为气膜半径间隙；e为偏心率；p为压力；Pa为环境大气压；ε为量纲一的偏心率；R为轴承半径；η为量纲一的轴向坐标；x，z分别为轴承周向、轴向坐标；ω为转子转动角速度；τ为量纲一的时间；μ为气体动力黏度；Λ为轴承数。

在供气孔区域，通过小孔的质量流量为［10］

式中：A为供气小孔的截面面积；Ps为供气压力；ρs为供气压力下的气体密度；Φ 为流量系数，取0.8［10］；Ψ为速度系数；k为气体绝热指数；P0为节流孔出口压力。

1.2 静压气体轴承扰动状态下的方程

当转子受到扰动时，转子位置可以根据偏心角及偏位角来确定，将各参量的大小近似简化为静态量和扰动量的叠加，代入后可以得到扰动状态下的润滑方程［9-10］。

当转子绕平衡点以频率ν进行周期性扰动时，在任意时刻的扰动偏心率ε及偏位角θ分别记作E和Θ，因此，任一扰动时刻转子的位置为［8-9］

式中：E1为扰动偏心率幅值，复数；Θ1为扰动偏位角幅值，复数；f为量纲一的扰动频率；ε0为静态时的偏心率；i=。

根据线性法则进行简化，将扰动状态下的气膜厚度和压力分别当作静态量H0，P0与动态量Hd，Pd的叠加，即

将（4），（5）式代入（1）式，利用稳态方程化简，忽略扰动的高阶项，得到扰动状态下的润滑方程为［8-9］

（6）式描述了扰动量幅值E1，Θ1与动态气膜间隙厚度Hd1、动态压力分布Pd1之间的联系，是求解气体轴承动态特性参数的基本方程。

1.3 动态刚度系数及阻尼系数的求解

扰动状态下的润滑方程隐含扰动幅值E1，Θ1，采用偏导数方法求解静压气体轴承的动态特性参数。令

将扰动状态的润滑方程（6）式分别对E1，Θ1求导，得到关于PE，PΘ的偏微分方程。关于PE的偏微分方程为［8-9］

关于PΘ的偏微分方程为

由于静态气膜厚度分布及静态气膜压力分布为已知量，用有限差分法求解扰动状态下的偏微分方程，轴承两端的边界条件为

在供气孔区域，由于转子扰动直接影响供气孔出口的压力分布，其影响程度与此位置的压力及气膜厚度有关，因此，对于静压气体轴承的动态特性参数的计算，供气孔区域不作为边界条件，而作为内部计算的未知参数，这是与静态计算压力分布的区别所在。

求得PE和PΘ的分布后，静压气体轴承量纲一的动态特性参数可以根据下列公式进行计算［8-9］

式中：Ki，j，Di，j分别为轴承的刚度和阻尼系数，其含义为j方向上的位移或速度变化引起在i方向力的变化量。

将（11）式得到的动力学特性参数转化到直角坐标系中［8-9］

（12）式求得的结果就是静压气体轴承在直角坐标系下的动力学系数。

在求解扰动状态的方程中，稳态时的压力分布及气膜厚度分布均为已知量。供气孔出口处的压力大小与该处的气膜厚度相关，假设扰动对于整个计算域有效，因此，扰动状态下的供气口出口参数不作为求解方程的边界条件来设置，这是与求解静态压力分布方法的区别所在。

1.4 稳定性分析理论方法

基于小扰动假设条件，转子及轴承围绕着静态平衡点做小振幅振动，因此，轴承-转子系统的运动方程为［11］

式中：M 为系统质量矩阵；K为刚度矩阵；C为阻尼矩阵；q为系统广义坐标序列。

将（13）式改写为

式中：X为状态向量；B为状态矩阵。

根据Routh-Hurwitz稳定判别理论［12］，若矩阵B的特征值都有负的实部，则系统是稳定的。因此，判定系统的稳定性为判定矩阵B的特征值的正负性。

假设特征值的形式为λ1，2=-σ±iωd，基于小扰动的假设，系统的自由振动响应为

对数衰减率表征系统振动衰减的速率，其值为

对于多自由度系统，其稳定性采用最小的对数衰减率表示［12］

轴承与转子之间的气膜力可以近似用刚度和阻尼系数表示为

式中：Fx，Fy分别为x，y方向上的气膜力；xd，yd分别为转子在x，y方向相对于平衡位置的位移变化量；˙xd，˙yd分别为转子在x，y方向的速度。

轴承-转子系统的运动方程为

结合（18）和（19）式可以求得矩阵B，进而分析系统的稳定性。

2 动力学参数的计算结果及分析

计算所用的静压气体轴承结构尺寸及运行参数见表1。根据上述理论，利用MATLAB软件采用有限差法及偏导数法［9-10］编制程序计算轴承的动力学特性参数。对双排孔供气、每排8孔均布的静压气体轴承进行分析，重点研究供气压力、转速及偏心率对轴承动力学特性参数的影响。

表1 轴承结构尺寸及运行参数Tab.1 Structural dimensions and operating parameters of bearing

通过有限差分法求解润滑方程（1）式，并在供气孔周围满足质量守恒的条件下可以获得静压气体轴承的压力分布。

2.1 扰动频率的影响

供气压力4×105Pa、偏心率0.3、转速5×105r/min下，静压气体轴承气膜间隙内的压力分布如图2所示。

图2 静压气体轴承气膜间隙压力分布Fig.2 Pressure distribution in gas film clearance of externally pressurized gas bearing

在此运行工况下轴承的动态刚度系数与动阻尼系数随扰动频率的变化情况如图3所示。

图3 刚度系数与阻尼系数随扰动频率的变化Fig.3 Variation of stiffness and damping coefficients with disturbance frequency

由图3可以看出：

1）静压气体轴承的主刚度系数随转子扰动频率的增加而增加，最终趋于一恒定值。交叉刚度的绝对值总体随扰动频率的增加而减小，最终趋于恒定值。

2）主阻尼系数随转子扰动频率的增加而减少，最终趋于一恒定值，当量纲一的扰动频率大于1.5时，2个方向的主阻尼系数数值趋于一致；交叉阻尼系数的绝对值随扰动频率的增加而减小，最终趋于0，且关于y＝0对称。

3）当量纲一的扰动频率大于1时，主刚度系数远大于交叉刚度系数；主阻尼系数也大于交叉阻尼系数。

2.2 供气压力的影响

在偏心率0.3、转速3×105r/min下，不同供气压力对静压气体轴承动力学特性系数的影响如图4、图5所示，并将计算结果与相同尺寸下的动压气体轴承作比较。

图4 刚度系数随供气压力的变化Fig.4 Variation of stiffness coefficients with gas supply pressure

图5 阻尼系数随供气压力的变化Fig.5 Variation of damping coefficients with gas supply pressure

由图4、图5可以看出：

1）当量纲一的扰动频率小于2.5时，供气压力对主刚度系数的影响不大；当量纲一的扰动频率大于2.5时，主刚度系数随供气压力的增加而增加，差值呈逐渐增大趋势，最终趋于稳定；主阻尼系数随压力的增加而增加。

2）交叉刚度系数与供气压力的关系并不明显，不同压力下的交叉刚度数值相差不大，当量纲一的扰动频率小于3时，Kxy与供气压力成反比，Kyx与供气压力成正比；当量纲一的扰动频率大于3时，交叉刚度几乎与供气压力无关；

3）当量纲一的扰动频率小于1时，动压气体轴承的主刚度系数略大于静压气体轴承；当量纲一的扰动频率大于1时，静压气体轴承的主刚度系数增加幅度远大于动压气体轴承；静压气体的主阻尼系数大于动压气体轴承，并随着扰动频率的增加呈减小趋势。

4）当量纲一的扰动频率小于2.5，动压气体轴承交叉刚度项Kxy大于静压气体轴承，当量纲一的扰动频率继续增加，其值略小于静压气体轴承；当量纲一的扰动频率小于2时，交叉刚度项Kyx小于静压气体轴承；当量纲一的扰动频率大于2，由于静压气体轴承的此项有减小趋势，导致最终动压气体轴承大于静压气体轴承。动压气体轴承的阻尼交叉项Dxy整体小于静压气体轴承，动压气体轴承的Dyx大于静压气体轴承。

2.3 旋转速度的影响

在供气压力4×105Pa、偏心率0.3下，静压气体轴承的转速对动刚度系数和动阻尼系数的影响分别如图6、图7所示。

由图6、图7可以看出：

图6 刚度系数随转速的变化Fig.6 Variation of stiffness coefficients with rotating speed

图7 阻尼系数随转速的变化Fig.7 Variation of damping coefficients with rotating speed

1）静压气体轴承主刚度系数随着转速的增加而增加；当量纲一的扰动频率大于1.5时，主阻尼系数随转速的增加而减小。

2）当量纲一的扰动频率小于2.5时，交叉刚度系数Kxy总体上随转速的增加而增加，Kyx随转速的增加而减少；当量纲一的扰动频率大于2.5时，转速对交叉刚度的影响不大。当量纲一的扰动频率小于1.5时，交叉阻尼系数Dxy随转速的增加而增加，Dyx随转速的增加而减小；当量纲一的扰动频率大于1.5时，转速对交叉阻尼的影响不大。

2.4 偏心率的影响

在供气压力5×105Pa、转速3×105r/min下，静压气体轴承的偏心率对动刚度系数和动阻尼系数的影响分别如图8、图9所示。

由图8、图9可以看出：

图8 刚度系数随偏心率的变化Fig.8 Variation of stiffness coefficients with eccentricity

图9 阻尼系数随偏心率的变化Fig.9 Variation of damping coefficients with eccentricity

1）主刚度系数随偏心率的增加而增加，且在承载方向的影响要远大于非承载方向；主阻尼系数也随偏心率的增加而增加，当量纲一的扰动频率大于2.5时，偏心率对阻尼系数的影响大大减少。

2）当量纲一的扰动频率小于1时，交叉刚度系数Kxy随偏心率而减小，Kyx随偏心率的增加而增大；当量纲一的扰动频率大于1时，Kxy随偏心率的增加而增加，Kyx随偏心率的增加而减小。当量纲一的扰动频率小于2时，交叉阻尼系数Dxy随偏心率的增加而增加，Dyx随偏心率的增加而减小；当量纲一的扰动频率大于2时，偏心率对交叉阻尼系数的影响不大。

3 稳定性分析

稳定性分析基于小振动假设的条件，由于系统对扰动的抵抗力可以用振动衰减速率表示，因此用对数衰减率来衡量系统的稳定性，对数衰减率越大，系统稳定性越好。

在转速3×105r/min、偏心率0.3下，静压气体轴承的稳定性如图10所示，并与相同结构尺寸下的动压轴承作对比。

图10 稳定性随供气压力的变化Fig.10 Variation of stability with gas supply pressure

由图10可以看出：

1）动压轴承在1倍频以下的扰动时的稳定性优于静压气体轴承；量纲一的扰动频率大于1时，静压气体轴承具有更好的稳定性。

2）当量纲一的扰动频率低于1时，低供气压力显示出更好的稳定性能，当量纲一的扰动频率大于1.5时，高供气压力下的轴承具有更好的稳定性能。

3）低频扰动相对于高频扰动更容易使气体轴承发生失稳。

静压气体轴承的稳定性随工作转速及偏心率的变化关系分别如图11、图12所示。

图11 稳定性随转速的变化Fig.11 Variation of stability with rotating speed

图12 稳定性随偏心率的变化Fig.12 Variation of stability with eccentricity

由图11、图12可以看出：

1）静压气体轴承的稳定性与旋转速度成反比，且高频扰动下更容易失稳。

2）大偏心率下的稳定性更好，因此适当提高静压气体轴承的偏心可以提高运转稳定性。

4 结论

利用MATLAB编程，应用偏导数法求解了静压气体轴承的动刚度系数以及动阻尼系数，分析了供气压力、转速以及偏心率对动力学参数的影响，结果表明：

1）静压气体轴承的主刚度系数及主阻尼系数随供气压力的增加而增大，刚度与阻尼的交叉项随着压力的变化相对复杂。

2）当量纲一的扰动频率小于1时，动压气体轴承的主刚度略大于静压气体轴承；当量纲一的扰动频率大于1时，静压气体轴承的主刚度远大于动压气体轴承；静压气体轴承的主阻尼系数远大于动压气体轴承。

3）主刚度系数随转速的增加而增加，当量纲一的扰动频率大于1.5时，主阻尼系数随转速的增加而减小；交叉刚度系数及交叉阻尼系数影响相对较小且规律复杂。

4）主刚度系数及主阻尼系数随偏心率的增加而增大，且承载方向上的主刚度系数及主阻尼系数对偏心率更为敏感；交叉刚度系数随偏心率的变化规律复杂，交叉阻尼系数的绝对值随偏心率的增加而增加，且随扰动频率的增加，交叉阻尼项随偏心率的变化较小。

5）量纲一的扰动频率为1时的静压气体或动压气体轴承的稳定性最高，且低频的扰动相比于高频扰动更容易产生运转不稳定。

6）适当增加静压气体轴承的偏心率会增加其运转稳定性。