Euler不等式又一个隔离

安徽省合肥市南门小学上城国际分校 (邮编：230000)

Euler不等式又一个隔离

安徽省合肥市南门小学上城国际分校陈亚平(邮编：230000)

三角形的Euler不等式R≥2r是平面几何中非常重要而且形式优美的不等式．有关Euler不等式的加强和推广已有大量文献进行了研究，可参看[1,2]．本文分别利用三角形和四面体的中线给出了Euler不等式新的隔离．

定理1设△ABC的外接圆和内切圆的半径分别为R、r，m1、m2、m3分别为三边上的中线，则有

(1)

等号成立当且仅当△ABC是等边三角形．

定理2设四面体A1A2A3A4的外接球和内切球的半径分别为R、r，m1、m2、m3、m4分别为过顶点A1、A2、A3、A4的中线(顶点与对面重心的连线)，则有

(2)

等号成立当且仅当四面体A1A2A3A4是正四面体．

引理1[1]n维单形A1A2…An+1的外接球和内切球的半径以及体积分别为R、r、V，mi是过顶点Ai的中线(顶点与对面重心的连线)(i=1,2,…,n+1)，aij=|AiAj|(1≤i,j≤n+1)为棱长，则

(3)

(4)

(5)

(6)

引理2n维单形A1A2…An+1的外接球和内切球的半径分别为R、r，mi是过定点Ai的中线(i=1,2,…,n+1)，aij=|AiAj|(1≤i,j≤n+1)为棱长，则

(7)

等号成立当且仅当是正则单形．

证明由引理1中的不等式(3)、(4)、(5)、(6)，可得

定理1和定理2的证明：在(7)中，取n=2和n=3，即得(1)和(2)式．

1 沈文选．单形论导引[M] ．长沙：湖南师范大学出版社，2000

2WangWen,YangShi-guo．GeneralizationsofEulerinequalityinn-dimensionalEuclideanspace[J]．China.Quart.J.ofMath.27(2):218-223(2012)

2017-03-26)