近五年安徽中考二次函数试题的考查特点

安徽省定远县第二初级中学 (邮编：233200)

近五年安徽中考二次函数试题的考查特点

安徽省定远县第二初级中学曹晓肆(邮编：233200)

1 考点分析

二次函数及其图象是初中数学的重点内容之一，也是初中数学与高中数学联系的纽带，高中阶段我们会继续深入地学习它.据初中生的反馈，关于二次函数及其图象的抽象度高，综合性强，因此学生普遍感到学习难度大，且其内容在中考中占有较大的比重.二次函数型试题能够较好地考查学生的函数与方程、数形结合、分类讨论和转化的思想方法，也能较全面地反映学生的综合能力，因此，二次函数在安徽省中考中既是重点，也是热点.安徽省中考数学命题既重点考查二次函数及其图象的有关基础知识，同时以二次函数为背景的代数综合题也是每年必考题之一.因此，在中考数学复习中，关注这一热点显得尤为重要.为了更好地搞好中考数学复习，我们研究了近五年安徽省中考数学试题，将2012～2016年安徽省近五年中考中二次函数考点总结如下：

年份题号(分值)考查内容20129(5)、23(14)二次函数与切线，二次函数、一元二次方程与不等式的综合应用201316(10)、22(12)二次函数解析式的确定，利用二次函数解决实际问题201412(5)、22(12)二次函数与平均增长率，二次函数知识的综合与拓展201510(5)、22(12)二次函数与方程的关系，二次函数的应用，二次函数的最值201622(12)待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题

由此可见，多数年份对二次函数的考查都是一道小题和一道大题，并且大题常常作为压轴题，考查学生综合运用知识解决问题的能力，区分度较高.

2 历年真题剖析

2.1 二次函数的图象与性质

例1 (2012年第9题)如图1，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP=x，则△APB的面积y关于x的函数图象大致是( )

解析因为AB切⊙O于点A，所以∠PAB=90°.在Rt△PAB中，PA=2-x，∠APB=60°，利用∠APB的正切把AB表示出来，从而建立起y关于x的二次函数关系式，其对称轴为x=2，且0≤x<2.故选D.评析本题虽是选择题，但考查了直线与圆相切相交、锐角三角函数和二次函数的解析式与图形三个部分的内容，可谓小题不小.同时也深入考查了数形结合的思想，通过建立函数解析式方能确定函数类型及其图象特征，所以正确建立函数关系式是解决本题的关键所在.例2 (2016年第22题)如图2，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0)．

(1)求a、b的值；

(2)点C是该二次函数图象上A、B两点之间的一动点，横坐标为x(2

解析(1)要求a与b的值，只要把两点坐标代入,即可得到关于a与b的二元一次方程组，从而求得a与b的值．

(2)本题是一个常规题，要求S关于x的函数表达式，需要把四边形OACB分割成三个三角形，即过A作x轴的垂线，垂足为D，连接CD，过C作CE垂直AD，把四边形分成△OAD、△CAD、△BCD从而得到S关于x的函数表达式为S=-x2+8x，并求得函数的最大值为16．

评析(1)求字母的值就是要解关于该字母的方程或方程组，本题只要把坐标代入即可得到二元一次方程组，把问题转化为解方程组；(2)根据题意，建立二次函数模型，从而把所求问题转化为求二次函数的相关问题．本题关键是如何把四边形分割成易表示的图形，再建立函数关系式，从而把问题转化为求二次函数的最值问题．例3 (2014年第22题)若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数；

(2)已知关于x的二次函数y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A(1，1)，若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．

解(1)设顶点为(h，k)的二次函数的关系式为y=a(x-h)2+k，把a、b、c的值分别代入，所以两个函数y=2(x-3)2+4与y=3(x-3)2+4是“同簇二次函数”．

(2)因为y1的图象经过点A(1，1)，把A点代入,即可求出m1=m2=1．所以y1=2x2-4x+3=2(x-1)2+1．从而y1+y2=2x2-4x+3+ax2+bx+5=(a+2)x2+(b-4)x+8．又y1+y2与y1为“同簇二次函数”，对比系数可以解出a、b的值．故y2=5x2-10x+5=5(x-1)2．

①当0≤x≤1时，最大值为5，②当1≤x≤3时，x=3，y2取最大值20，

综上所述，当0≤x≤3时，y2的最大值为20．

评析(1)只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为“同簇二次函数”的函数表达式即可．(2)由y1的图象经过点A(1，1)可以求出m的值，然后根据y1+y2与y1为“同簇二次函数”就可以求出函数y2的表达式，然后将函数y2的表达式转化为顶点式，再利用二次函数的性质就可以解决问题．本题综合考查了二次函数的性质、最值、二次函数一般式与顶点式等，也考查了分类讨论的思想和阅读理解能力．而对新定义的正确理解和分类讨论是解决第二小题的关键．2.2二次函数的解析式及其应用例4 (2015年第10题)

如图4，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c的图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+(b-1)x+c的图象可能为( )

评析一次函数与二次函数交于第一象限两点，因此方程ax2+bx+c=x有两个不等的正根，即ax2+(b-1)x+c=0有两个不等正根，则函数y=ax2+(b-1)x+c的图象与x轴正半轴有两个交点，因此选A．

本题要注意函数与方程的相互转换，即两函数图象交点的横坐标转化为方程的根，再将方程的根转化为所求函数与x轴交点的横坐标问题，这就要求能准确理解图象的坐标含义，特别是交点的含义．

例5 (2012年第23题)如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2米的点A处发出把球看成点，其运行的高度y(米)与运行的水平距离x(米)满足关系式y=a(x-6)2+h，已知球网与点O的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点O的水平距离为18米．

(1)当h=2.6时，求y与x的函数关系式．

(2)当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．

(3)若球一定能越过球网，又不出边界,则h的取值范围是多少？

解(1)把x=0，y=2及h=2.6代入到y=a(x-6)2+h，可得

评析本题是二次函数顶点式的应用，根据所给条件，利用待定系数法，确定二次函数解析式后，再据给定的变量值求出其他变量值，从而解决问题.例6 (2013年第9题)已知二次函数图象的顶点坐标为(1，-1)，且经过原点(0，0)，求该函数的解析式．分析利用二次函数的顶点式，因为函数图象经过原点(0，0)，解得二次项系数a=1，求得该函数解析式为y=(x-1)2-1．评析本题利用二次函数的顶点式求其解析式，属简单问题．求二次函数解析式最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般有如下几种情况：

(1)已知抛物线上三点的坐标，选用一般式；

(2)已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式；

(3)已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；

(4)已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

2．3 二次函数的实际应用

例7 (2013年第22题)某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在x天销售的相关信息如表所示．

销售量p(件)p=50-x销售单价q(元/件)当1≤x≤20时，q=30+12x当21≤x≤40时，q=20+525x

(1)请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？

(2)求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式；

(3)这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大的利润是多少？

分析(1)把q=35分别代入1≤x≤20及21≤x≤40时的解析式，解得x=10或x=25．

(2)分1≤x≤20及21≤x≤40两种情况，分别写出y关于x的解析式．

(3)分1≤x≤20及21≤x≤40两种情况，分别计算出y1的最大值612，y2的最大值725，因为y1

评析本题以实际问题为背景，将反比例函数与二次函数综合进行考查，同时考查分类讨论的思想和分段函数.解答中需要考生知道:利润=销售收入-销售成本这一常识知识.熟练掌握二次函数和反比例函数的性质及最值的求法是解答本题的关键.本题作为全卷的第22题(倒数第2题)，难度不算大．

例8 (2015年第22题)为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面ym2．

(1)求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；

(2)x为何值时，y有最大值？最大值是多少？

分析(1)根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE=2BE，设BE=a，则有AE=2a，表示出a与2a，进而表示出y与x的关系式，并求出x的范围即可；

(2)利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值即可．

评析试题以围成矩形区域的面积作为角度切入，源于教材，又高于教材．

在课本题的基础上加以变化延伸，体现了“立足基础，渗透思想，突出能力，着重创新”的课改理念，具有较好的教学导向性.本题从考查的角度看是考查学生会根据实际问题列出二次函数解析式，并求面积最大值，情境设置看似平凡，但内涵丰富，颇具创意；针对二次函数在实际生活中的应用这个初中数学课程的重点内容；从思想的角度看本题涉及的数学思想主要有：一是数学建模的思想，主要体现在要把实际问题抽象转化为方程模型、函数模型的过程；二是转化与化归思想，主要体现在第一问求函数解析式的过程中，也即是把数学问题在已知和未知当中将“未知”逐步转化为“已知”的过程；三是数形结合思想，以实际问题为背景，融合几何直观，把数式计算和几何关系很好地结合起来．因此，这道中考题是一个很好的函数应用题，值得关注和重视．

3 复习建议

二次函数是中考数学中最重要的内容之一，分值约占总分的10%～15%，题型既有低档的填空题和选择题，又有中档的解答题，更有压轴的综合题.近几年中考试卷中还出现了设计新颖、贴近生活、反映时代特征的阅读理解题、开放探索题、函数应用题，这部分试题包括了初中代数的所有数学思想和方法，全面地考查学生的计算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和创造能力.针对中考命题趋势，在复习时应首先理解二次函数的概念，掌握其性质和图象，还应注重其应用以及二次函数与几何图形的联系，此外对各种函数的综合应用还应多加练习.

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2017-03-06)