探究“a+kb型”线段和最小值问题

四川省巴中市巴州区大和初中 (邮编：636031)

探究“a+kb型”线段和最小值问题

四川省巴中市巴州区大和初中李发勇(邮编：636031)

将军饮马问题是典型的两条线段和最短问题，记为“a+b型”，常利用对称进行等量变换，将最短问题转化为“两点之间，线段最短”原理的简单应用问题.但其一些变式问题，譬如“a+kb(常数k>0)型”线段和最小值问题，对学生具有很大挑战性，如何突破学生思维障碍呢？通常需要进行一种新的变换，通过构造的方法转化、化归为简单情形，从而有效地寻找解题突破口，使问题顺利获解.下面举例探究如下：

1 构造直角三角形变换

图1

例1如图1，在△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=120°，点D是AB上的点，且BD=2AD，点E是AC上的动点.

(2)求3DE+CE的最小值.

图2

解(1)如图2，过C作CF∥AB，过A作AF⊥AB，CF与AF交于点F，从而AKCF是矩形.过E作EH⊥CF于点H，连接DE.过点D作DG⊥CF于点G，交AC于点E0，因为AB=AC=4，∠ACB=120°，所以∠CAK=30°，从而∠ACF=30°.

由于CF∥AB，于是DG=CK=2.

故所求的最小值为2.

图3

例2平面上有A(-4,-4)、B(4,2)两点.

(1)求直线AB的解析式；

(2)设直线AB和x轴所夹的锐角为α，求sinα的值；

(3)点C(1,3)是AB外一点，点D在AB上移动，求3AD+5CD的最小值.

解(1)略；(2)略；

图4

由于AE∥x轴，BE∥y轴.

由CF∥y轴，C(1,3)，得点F(1,-4)，所以CF=7.

思考1系数k可以为任意正实数吗？答案是肯定的.

已知∠CAB，点A、B为定点，点P是AC上一动点，求kPA+PB的最小值.

图5

⑴当k≥1时，如图5，在△PAB中，PA+PB>AB.则kPA+PB≥PA+PB≥AB，所以当点P与A重合时，kPA+PB的最小值为AB.

⑵当k<1时，以AB为直径作半圆，点D在半圆上，使sin∠CAD=k，因∠ADC=90°，所以kPA=PE.

图6

图7

①如图6，当∠BAD<90°时，过点B作BE⊥AD于E，

在△PBE中，PE+PB>BE，kPA+PB=PE+PB≥BE.BE与AC交于点P为所求点.

②如图7，当∠BAD≥90°时，过点B作直线AD的垂线，交DA的延长线于点E，交CA的延长线于点P.在△PAB中，PA+PB>AB.所以kPA+PB=PE+PB=PB≥AB.

所以kPA+PB的最小值为AB，此时，点P与点A重合.

2 构造相似三角形变换

图8

例3如图8，正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，P是⊙B上的动点，连结PD、PC.

在Rt△CDE中，易得DE=5.

在Rt△PDE中，PD+PE>DE.

图9

(2)如图9，连结BD、PB，作∠BPE=∠PDB.

在△PCE中，PC+PE>CE.

图10

例4如图10，在△ABC中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A的半径为6，P是⊙A上的动点，连结PB、PC.求2PB+3PC的最小值.分析注意到BP所在△ABP中，AP∶AB=2∶3，所以构造△ABP的相似三角形.解如图10，作∠APD=∠ABP交AB于点D，连结CD，易得△PAD∽△BAP.所以

在△BCD中，由余弦定理，得CD=7.

在△PCD中，PC+PD>CD.

图11

在△CDE中，CD+DE≥CE.

于是，CD+2PD=CD+DE≥CE.

图12

在△OPE中，由余弦定理，得

在△PDE中，PD+DE≥PE.所以6CD+5PD≥5PE.

思考2两线段前面的系数可以任意取值吗？当然不是，关键是满足两线段的系数之比等于其中某线段所在三角形两边之比.

通过上述两种新变换，将两线段和中的不同系数转化为相同系数，即“a+kb(常数k>0)型”化归为“a+b型”常规问题，再进行解答，有化难为易的功效.解决数学问题的方法很多，构造法是其中的一种创新方法.其实质就是通过观察，分析问题的结构特征和内在规律，综合运用数学知识，构造一个与原命题密切相关的"数学模型"，实现未知向已知的转化、化归.通过构造法的应用可将抽象问题形象化，复杂问题简单化，激发学生的解题热情，增强解题信心，提高解题效率.

2017-03-30)