数形结合，活跃思维

顾利群

[摘 要] 作为数学学科中最基础且最古老的研究对象，数与形两者之间存在一定联系，故而可以进行相互转化。考虑到这一特点，教师可巧妙导入数形结合法开展具体教学，将学生带入到探究活动中，以“数形转换”活跃思维、发展思维，以提升学生数学思辨及运用能力。

[关键词] 初中 数学教学 数形结合法 思维 策略 效果

传统初中教学课堂中，数学教师将教学重点聚焦到提高学生应试成绩上，认为提高成绩就是学生进步发展的表现，并未关注到学生数学思辨能力发展、情感意志提升等高阶层面发展。自新课改以来，教师对学生思维能力发展的认识及关注度有所提升，也在致力于创新教学方式，以更好地活跃及发展学生思辨能力。数形结合法是构建在“数”与“形”两者可相互转化的体系上[1]，以因材施教、循序渐进原则实施教学，引导学生善于找出并掌握知识之间的通法与通性，从不同维度、不同形式思考，以最终掌握知识的本质。数学教师可在授课中可引入数形结合法，以数形结合，活跃思维，提升教学成效。

一、数形结合法的基本定义及其在初中数学教学中的作用

数形结合是一种数学思想，强调在一定前提下，“数”与“形”两者之间可互相转换。数学家华罗庚是这样表述，“数形结合万般好，隔裂分家万事非”[2]，道出两者不可分割的关系。通过“以数解形”“以形助数”将抽象的数量关系、数学语言与形象的位置关系与几何图形有机整合在一起，化繁为简、化抽象为具体，以优化数学知识理解及难题解答。具体而言，数形结合可大致上分为以下两种情形：其一，以几何图形的直观性阐明数量关系，即“以形助数”；其二，以精准的数量阐明形的属性，即“以数解形”。一般情况下，数学中某些图形过于简化，通过肉眼无法观察出规律，需引入角度、边长等图形赋值，以更好地了解并掌握数学知识。

初中數学教学课程内容比较抽象，尤其是几何图形，大部分学生很难自行在脑海中形成生动且直观的图形形象，自然也不能有效理解几何知识，无法掌握一定的解题思路。换种角度进行阐述，即便是应对比较简单的几何平面知识，初中生也很难着手进行操作。比如在《勾股定理》一课授课中，传统教学中，教师多一遍带过“勾股定理”的概念及其意思，然后即刻让学生运用相关知识进行问题解答。此时，学生尚未对“勾股定理”形成较为全面的认知，很难通过简单图形联系其勾股定理。若教师在教学中引导学生在图形中标准出赋值“边长”，可降低思维难度，通过数形结合将抽象图形转变为数字化信息，随即进行运算、判断即可。总之，数形结合可将抽象思维转变为具象且直观形象，大大降低理解难度，便于学生进行理解、解答。

二、数形结合法在初中数学教学中的运用策略

由前文可知，数形结合是重要的数学思想，是帮助学生理解、内化以及运用数学知识的思想手段。为此，初中数学教师可在全面掌握本班学生实际学情前提下，深入探究教学内容，巧妙导入数形结合教学，以数形结合，活跃学生思维以及思辨意识，以提升其综合能力。

1.渗透“数形结合”理念，化生为熟

经由一段时间的学习及发展，初中生的信念、兴趣、动机等个体倾向性以及性格、能力以及气质等心理特征都渐趋于成熟。然而，受知识、经验、认知及感知能力不足的限制，初中生在阶段性接受数学学习时仍无法根据个人能力进行直观想象及思考，尤其是在应对几何图形时。由此可见，导入数形结合教学至关重要[3]。授课设计中，教师应考虑整个教学内容的安排对学生的意义，分清不同环节对学生的不同作用，站在学生角度进行分析，探索出学生知识习得的过程，体现其情感及数感意志，巧妙渗透数形结合理念，提升教学成效。具体实践中，教师应就最近发展区为切入点，在数学思想与方法教学中导入数形结合理念，以培养学生数学思维，化生为熟。

以苏教版初中数学教材为例进行说明，首先在七年级（上）《余角、补角、对顶角》一课中，教师在教学设计中应明确“余角”“补角”“对顶角”的概念及性质，让学生深刻掌握基础知识，然后引入具体图形让学生带动原有知识进行观察、思考、分析及推理，以加深对知识的理解。授课实践中，教师可首先引出意大利比萨斜塔相关知识，以比萨斜塔导入教学，激发学生学习能动性及积极性，让学生对“角”有进一步的认知及了解。

A

OA为斜塔，B表示影子，∠AOB=80°

O B

（图一）

视频播放后，教师可具体运用图形、符号以及文字符号讲解“余角”与“补角”的定义及性质，图形文字如图（一）。教师将斜塔相关特性转化为具体、直观的图形及数字信息，以直观形象刺激学生大脑神经，便于学生更好地理解并内化知识。为更好地引导学生进入学习思考状态，教师可引出“就图示得，比萨斜塔倾斜的角度是多少？”“边OA与AB成的角是多少度？”等提问，自然引出本文的主题“余角”“补角”，并强化余角与补角的性质。通过直观的图形与数字，学生对“余角”“补角”的认知就不局限于教师以往的“照本宣科”讲解，而是经由数形结合，自主投入更多时间进行探究、思考、交流，带着“余角是什么概念，那具体表现在哪里呢？”这样的疑问对图形信息进行整合、分析，而最终理解知识概念。

2.引导“数形结合”操作，化繁为简

所谓“授人以鱼不如授人以渔”，同样道理运用到初中数学数形结合教学中亦如此。“数形结合”是一种数学思想，而只有将思想投入实践，才可真正体现其价值及意义，学生数学学习成效也自然随之上升。具体实践中，教师应引导学生善于调动原有知识求解新知识、利用熟知问题解决陌生问题，以真切掌握“数形结合法”，逐步养成发现真理、认识世界的科学素养。引导学生进行数形结合操作，对培养其思维能力、促进其终身发展至关重要。建构在富于创意与动感的图形上，加上简洁清晰的数字语言，学生可更加深切体验到数形结合的价值所在，养成善于观察、善于动手操作的习惯，在短时间筛选关键信息，并作出联想反应。

比如在《探索三角形全等的条件》章节授课中，教师应组织学生自主进行操练、推理、总结，以数形结合深化知识。在上一下节课程学习中，学生已学习到全等图形、全等三角形的知识，自然对图形全等大体上有一个概念。全等三角形这一知识点密切关系到直角三角形、等腰三角形、角平分线，通过让学生动手进行操作，可培养其逻辑思维、推理论证的能力。因而在本章教学中，教师可按照“提问——操练——思考——总结”程序进行教学，首先以“什么条件下可实现三角形全等？”为题让学生动手进行描图推理，以数形结合进行观察分析。传统教学上，教师多直接引出“边边边”判定标准，然后直接拿出习题进行练习。在此，教师可引导学生描出三角形，并分别给边或角赋值，以具体数据进行判定，让学生在实验中练习、在练习中犯错、在错误中更正，以最终对知识形成自我思维框架。随后，教师可根据学生情况进行评价分析，并引出“按要求作图：三个角均为60°；以90°、60°、30°为内角”习题操作，让学生自主完成，并在数形结合中得出全面认知。总之，教师与其“滔滔不绝”“苦口婆心”进行讲解，倒不及让学生自主参与到数形结合练习中，养成以数形结合进行学习及解答的意识，掌握适合自己的学习方法，才可真正提升教学成效。

3.把握“数形结合”精髓，解难答疑

数学知识逻辑性、系统性更強，数学概念及定律是经前人在大量实验探究基础上，运用简练语言进行表述而来。看似简单的一言概之，实际上数学概念蕴藏丰富的知识及内涵，仅凭字面意思是无法真正体会其价值。另外，数学习题或考试中，题干设计的语言也比较简练，“三言两语”下实际考查的内容比较多。“数形结合”，顾名思义就是“数”与“形”的结合，只要找出一定的数量关系，然后就具体数量进行描图分析，大体上就可掌握知识或题干的关键信息。为此，教师在教学中不可笼统性讲解概念，而应让学生运用数形结合法深入到知识理解中，透过现象抓住本质，以解难答疑。

比如在《弧长及扇形的面积》一节教学中，教师需以数形结合法进行教学，引导学生一同参与到“弧长与扇形面积公式推导及运用”学习活动中，以强化其知识认知。面积公式运算是适合数形结合法的典型问题，学生首先明确具体的图形，然后标识出相关的参数或指标，并考量不同参数之间的关系，最后将具体数值代入分析，如此便可更好地解难答疑，准确且快速计算出答案。数学是“数”与“形”的综合体，抓好这两个点就可找到问题解决的突破口[4]。引出例题：已知弧长为8，弧半径为9，求弧所对圆心角=（ ）。学生第一反应应该是“这类型题目应该使用数形结合法进行解答”，然后锁定关键信息“弧长”“半径”，确定求值是“圆心角”，描出“圆”，并一一将相关参数标识在图形上，即可一目了然地掌握题干信息，最后引出公式进行运算即可。圆中，圆心角、弧长与半径三者关系并非一成不变的，任一参数发生变化，其余两者也会随着发生改变。只有通过描图，以数形结合更为直观展示变量参数之间的关系，刺激学生大脑思维进行思考，将所学知识真真切切运用到问题解答中。传统教学中，教师“苦口婆心”反复讲解公式运算，反复且大量刺激可一定程度上有助于学生记忆公式，但学生一下课就忘记所学知识是普遍性存在的现象。引入数形结合法教学，可活跃学生思维，真切刺激其大脑神经进行思考、分析、推断，如此学习状态下，学生才是真正学习到知识。

三、结语

综上所述，数形结合是重要的数学思想，是培养及发展学生创新思维的有力途径。为此，初中数学教师在教学中应坚持因材施教、循序渐进原则，善于实施数形结合教学的同时，引导学生进行数形结合的练习，让其进行自主探究学习，把握住精髓，抓住题干关键信息，以数形结合明确变量间的关系，发展思维能力，提升综合素养。

参考文献：

[1]陈遵志.数学核心素养理念下的初中数学课堂教学实践探索[J].福建教育学院学报，2017（02）：63.

[2]周翠萍.让创新成为学习的不竭动力——初中数学创新思维培养途径思考[J].读与写杂志，2017，14（04）：100.

[3]常胜彪.浅议初中数学教学中学生创新精神与实践能力的培养[J].学周刊，2017（15）：115.

[4]李国和.浅谈数形结合方法在初中数学教学中的应用[J].中国校外教育（中旬刊），2015（03）：101.