贝塞尔函数在抛物型偏微分方程求解中的应用

程炜

【摘要】傅里葉（Fourier）变换法是处理抛物型方程定解问题的重要方法之一.考虑一个无限长圆柱形区域上的轴对称抛物型偏微分方程的混合问题，应用Fourier变换方法、变形的贝塞尔（Bessel）函数和它的性质求出该问题的形式解.同时也处理了球形区域上的抛物型方程的混合问题.

【关键词】抛物型方程；Bessel函数；应用

【基金项目】河南省自然科学基金（132300410231）.

一、引言

与常微分方程相比，偏微分方程的研究历史相对较短.对于偏微分方程的研究可以追溯到18世纪，由瑞士数学家欧拉首次提出了弦振动偏微分方程，紧随其后，法国数学家达朗贝尔也明确了波动方程.从18世纪中叶到今天，通过若干代人对偏微分方程有关问题的不断研讨，使偏微分方程成为现代数学的重要组成部分.偏微分方程与物理、生命、地球等科学在许多方面有着广泛的联系，例如，人口模型对应的数学模型就是一个偏微分方程.从数学专业的角度出发，我们能够清晰地了解到，偏微分方程的应用触角几乎已经深入到了自然学科的各个领域.伴随着科技的发展，人类探索实践活动的不断深入，我们遇到了更多的偏微分有关的问题，这些问题大都是急需要解决的问题，对这些问题的求解日益得到人们的关注，成为数学学科和工程技术领域共同研究的热点问题之一.抛物型偏微分方程是偏微分方程的一种重要类型，当它对应的物理模型是物体的热传导，则被称为热传导方程，如果它对应的物理模型是液体或气体或半导体材料中杂质的扩散时，则被称为反应扩散方程.因此，研究抛物型偏微分方程的混合问题既具有理论价值也具有实际意义.本文研究抛物型方程的混合问题.

在许多实际应用领域，最常见的设备形状是圆柱体或球体，关于这些特殊区域上的抛物型偏微分方程的定解问题的求解，往往需要先把问题转化为柱坐标或球坐标系下的变系数的抛物型偏微分方程的定解问题，然后再应用特殊函数求出问题解的表达式.关于Bessel函数在偏微分方程求解中的应用研究大多比较复杂，并且运算的工作量也比较大.据我们所知用分离变量方法，结合应用Bessel函数求解微分方程通解或特解的文献较少，用积分变换法结合Bessel函数求解微分方程通解或特解的文献更为少见.本文采用Fourier变换方法、Bessel函数及其性质解决抛物型方程的混合问题.

贝塞尔是德国著名数学家，他首次构建了贝塞尔函数的总体理论框架.据作者了解，Bessel函数在数学、物理等领域中具有广泛的应用，例如，数学中Bessel方程解的表达式用相应的Bessel函数表示，在圆柱形波导中的电磁波传播问题研究需要Bessel函数.在柱坐标或球坐标系下，应用变量分离的方法（行波方法）求解Helmhohz方程或Laplace方程，把偏微分方程转化成Bessel方程.由此可知，Bessel函数在双曲型偏微分方程混合问题、椭圆型偏微分方程边值问题和抛物型偏微分方程混合问题的求解过程中起着非常重要的作用.在文献[1]中，周慎杰等作者把变形的Bessel函数应用到力学分析中，导出了壳体力学分析应用的形式解.在文献[2]中，金启胜研究了一个波动方程的混合问题.采用变量分离的求解方法、Bessel函数及其性质推导出问题的形式解.作者Cheng等在文献[3]中采用Fourier变换方法和球形Bessel函数及其性质推导出一个热传导方程定解问题解的表达式.在文献[4]中，作者孙金海利用Bessel函数求解圆柱形区域内的Laplace方程的定解问题，并且利用Legendre函数求解球形区域内的电位分布问题.本文将利用Bessel函数求解柱形区域上轴对称的抛物型偏微分方程的混合问题，球形区域上的球对称抛物型方程的混合问题.

二、理论基础

在本部分，我们给出相应的理论知识.下面先给出Fourier变换的主要性质：

微分性质：若函数f′（x）的Fourier变换存在，则

三、应用举例

在文献[6]中，作者Evans详细介绍了Fourier变换.Fourier变换法是处理椭圆、抛物和双曲型方程定解问题的重要方法之一.该方法的思想就是化偏为常，目的是把难度大的问题转化为容易的问题，从而解之.Fourier变换法求解抛物型方程，事实上是先对抛物型方程做傅里叶变换，达到化偏为常的目的，然后求出转化后的问题的解，最后对所有的象函数做Fourier逆变换，求出原问题解的表达式.在实际问题中，最常见的设备形状是圆柱体或球体，在这样特殊区域上的抛物型偏微分方程有关问题的求解，通常需要先把问题转化为柱坐标或球坐标系下的变系数的抛物型偏微分方程的问题，然后再应用特殊函数求出问题解的表达式.下面我们采用Fourier变换方法、Bessel函数及性质求解抛物型偏微分方程的混合问题.

例1半径为R无穷长均质圆柱体，在传热过程中，该物体内部没有热源，而边界温度保持为g（r），初温度为零，圆柱体内的温度分布只与r有关，其中的r表示圆柱体内的点到轴心的距离，求此圆柱体内各点的温度分布.

分析假设圆柱体的轴与柱坐标系z轴重合，圆柱体内部任意一点P的温度为u（r，t）.根据问题的物理意义知 limr→0u（r，t）是有界的，再结合问题中给出的其他已知条件可知，在柱坐标系下，函数u（r，t）满足的数学模型为

表达式（12）即为圆柱体内各点温度变化规律.

例2均质球体的半径为a，球体内部没有热源，初温度为零，在热传导过程中，球体边界温度保持为f（r），且球体内的温度分布只与r有关，r表示球体内的点到球心的距离.求这个球体内各点的温度分布.

分析由于球体内的温度只与r有关，所有问题为球对称，也被称为径向对称.假设球心在球坐标系的原点，函数u（r，t）表示球体内部任意一点的温度分布.根据问题的物理意义可知 limr→0u（r，t）是有界的，再结合问题中给出的其他已知的条件可知，在球坐标系下，函数u（r，t）满足的数学模型为

四、结论

Fourier变换法通常被用来处理偏微分方程定解问题，该方法不仅具有理论价值，而且有实际意义.本文采用Fourier变换方法，并利用Bessel函数的性质求出柱形区域和球形区域上抛物型偏微分方程的混合问题的形式解.贝塞尔函数还能用于处理柱形区域上双曲或椭圆型方程的定解问题.

【参考文献】

[1]周慎杰，张思炎，孙树圃.力学分析中应用的特殊函数[J].山东大学学报工学版，1994，24（4）：306-311.

[2]金启胜.利用Bessel函数求解波动方程的定解问题[J].齐齐哈尔大学学报，2014，30（4）：89-91.

[3]W Cheng，C L Fu，Z Qian.A modified Tikhonov regularization method for a spherically symmetric three-dimensional inverse heat conduction problem[J].Mathematics and Computers in Simulation，2007（75）：97-112.

[4]孙金海.数学物理方程与特殊函数[M].北京：高等教育出版社，2005.

[5]王元明.数学物理方程与特殊函数[M].北京：高等教育出版社，2004.

[6]Lawrence C Evans.Partial differential equations[M].American Mathematical Society，Providence，Rhode Island，1997.

[7]柳重堪.正交函数及其应用[M].北京：国防工业出版社，1982.

[8]M Abramowitz，I A Stegun.Handbook of mathematical functions.Dover Publications Inc.，New York，1972.