压缩映像原理在数列极限中的应用

□杨 柳

(陕西国际商贸学院 陕西 咸阳 712046)

压缩映像原理在数列极限中的应用

□杨 柳

(陕西国际商贸学院 陕西 咸阳 712046)

波兰数学家巴拿赫于1922年提出的压缩映像原理发展了迭代思想，并给出了Banach不动点定理，这一定理有着及其广泛的应用，像代数方程近似解、微分方程、积分方程、隐函数理论等中的许多存在性与唯一性问题均可以归结为此定理的推论，另外，在递推形式的数列极限问题中也有广泛的应用。

不动点定理；数列极限；应用

巴拿赫不动点原理——压缩映像原理，是建立在完备的距离空间上到自身的压缩映射，存在唯一的不动点。数学分析中很多定理都是建立在压缩映像原理的基础上。压缩映像原理实质上是算子方程Tx=x的求解问题，是关于具体问题解的存在唯一性定理，它提供了线性方程解的最佳逼近，给出了解的构造方式，在数学的众多领域都有着重要的地位和作用。

对一个方程而言，只要我们找到相应的一个迭代公式，就能够解出这个方程，当然还会考虑到这个迭代公式的收敛性、收敛速度、解的稳定性等问题。在迭代的过程中需要迭代序列是收敛序列。例如在数值计算中，求解多元方程组，可以构造Jacobi迭代的序列，Gauss-Seide迭代序列等，不同的迭代序列的收敛速度不同，一旦收敛，即可求得在一定误差范围内的近似解[1]。

求解方程f(x)的根，可令g(x)=f(x)-x，即把方程问题转化为求g(x)的不动点问题。

数学分析中隐函数定理，微分方程中Picard定理(微分方程解的存在唯一性定理)都是压缩映像原理的具体形式，均是构造出一个映像，证明此映像是收敛的。

“压缩映像”原理

定理 (1) 对于任一数列{xn}而言，若存在常数r，使得∀nєN，恒有|xn+1-xn|≤r|xn-xn-1|,0＜r＜1则数列{xn}收敛。

(2)特别，若数列{xn}利用递推公式给出：

xn+1=f(xn) (n=1,2,…)，其中 f为某一个可微函数，且∃rєR，使得 |f'(x)|≤r＜1 (∀xєR)，则数列{xn}收敛[2]。

众所周知，单调有界定理是研究递推形式数列的有力工具，但在证明时比较复杂，而压缩映像原理能够利用函数的导数来判定数列极限是否存在，相对于单调有界原理，压缩映像能更有效的判定数列极限存在，并且简化计算过程，便于操作。

再证明数列有界：显然1≤x0＜2，若假设1≤xn＜2，则，故对于一切nєN都有1≤xn＜2；

由单调有界定理可知，数列{xn}收敛，记在，A=0或A=2。因为数列单调递增，所以A=0不符合题意，故得中取极限得xn=2。

证2 利用压缩映像定理，如证1，已经证1≤ xn＜2，对有

满足压缩映像原理的第(2)个条件，因此数列{xn}收敛，其余同证1.

例2 设x1＞0，为常数)，求

故xn+1=f(xn)为压缩映像，数列{xn}收敛。设两边取极限得：A=

由例1和例2可以看出，在解决递推数列的极限的问题时，可以先构造一个压缩映射f，由压缩映射原理可以判定递推数列的极限是否存在，若存在，设极限为A，则有A=f(A)，从方程中解得A，即为所求极限。由于数列的前有限项对极限没有影响，因此，在构造映射的时候可以选择去掉前有限项。

[1]徐萃薇，孙绳武.计算方法引论[M].北京：高等教育出版社.

[2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社.

1004-7026（2017）10-0127-02

G634.6

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10.16675/j.cnki.cn14-1065/f.2017.10.092