浅谈高中数学中的化归与转化

刘时

[摘要]数学思想是数学的灵魂，是解題的航标灯。化归与转化思想是解决数学问题的一种基本思想，即把要解决的问题通过一系列的转化与化归，使其成为已解决的或较易解决的问题。化归与转化这种思维策略在数学学习中有着广泛的应用，在具体的解题过程中发挥着重要的作用，教师要指导学和掌握好化归转化原则并在解题中灵活应用。

[关键词]高中数学；化归；转化；应用

数学中的化归与转化思想方法，指在研究和解决有关数学问题时，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得问题的解答的一种手段和方法。在高中数学学习中，掌握好化归与转化思想的特点，学会在解题时注意依据问题本身所提供的信息，利用动态思维，去寻求有利于问题解决的化归与转化的途径和方法，对学好数学很有帮助。

一、化归转化的概念分析

化归转化法是数学学习中一种分析问题解决问题的基本思想方法。化归转化的原则是以已知的、简单的、具体的、特殊的、基本的知识为基础，将未知的化为已知的，复杂的化为简单的，抽象的化为具体的，一般的化为特殊的，非基本的化为基本的，从而得出正确的解答。它是将一个非基本的问题通过分解、变形、代换，或运用平移、旋转和伸缩等多种方式，化归为一个熟悉的基本的问题，从而求出解答。简而言之，化归是一种目的性的转化。化归思想，是将一个问题由难化易，由繁化简，由复杂化简单的过程，它是转化和归结的简称。

在高中数学学习过程中，总会出现各种各样的数学问题，掌握解题方法从而高效解题是数学学习的目标。只有把握精准的数学解题方法，才能解决多样的数学问题。在高中数学学习阶段，学生必须掌握化归转化思想，如数形结合、等价代换等，熟练运用化归思想解题是学好数学的良好途径。实施等价转化这一化归思想的时候，教师要在教材中挖掘化归与转化的思想，在教学设计中进行渗透，在实际教学过程中辩证地对待这一思想方法，把难解决、抽象的问题化归与转化成比较直观的问题。

二、化归与转化思想的应用策略

事实上，数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化等，这些都是转化思想的体现。对于数学习题的解答，关键是如何顺藤摸瓜，顺利实现转化。熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁。

1.熟悉化策略

当学生面临的是一道以前没有接触过的陌生题目时，要设法把它化为曾经解过的或比较熟悉的题目，以便使学生充分利用已有的知识、经验或解题模式，顺利地解出原题。学生对于题目的熟悉程度，取决于对题目自身结构的认识和理解。从结构上来分析，任何一道解答题，都包含条件和结论（或问题）两个方面。因此，要把陌生的题目转化为熟悉的题目，教师可指导学生变换题目的条件、结论（或问题），从而顺利完成解答。充分联想回忆基本知识和题型，可以帮助学生熟悉更好地进行数学学习。按照波利亚的观点，在解决问题之前，我们应充分联想和回忆与原有问题相同或相似的知识点和题型，充分利用相似问题中的方式、方法和结论，从而解决现有的问题。对于同一道数学题，可以指导学生从不同的侧面、不同的角度去认识，全方位、多角度分析题意。学生根据自己的知识和经验，适时调整分析问题的视角，有助于更好地把握题意，找到自己熟悉的解题方向。数学学习中，同一素材的题目，常常可以有不同的表现形式，条件与结论（或问题）之间，也存在着多种联系方式。因此，构造辅助元素，有助于改变题目的形式，沟通条件与结论（或条件与问题）的内在联系，把陌生题转化为熟悉题。数学解题中，构造的辅助元素多种多样，常见的有构造图形（点、线、面、体），构造算法，构造多项式，构造方程（组），构造坐标系，构造数列，构造行列式，构造等价性命题，构造反例，构造模型等。

2.简单化策略

当学生面临的是一道结构复杂、难以入手的题目时，教师要设法引导学生把它转化为一道或几道比较简单、易于解答的新题，以便通过对新题的考查，启迪解题思路，以简驭繁，解出原题。简单化是熟悉化的补充和发挥。一般说来，我们对于简单问题往往比较熟悉或容易熟悉。因此，在实际解题时，这两种策略常常是结合在一起进行的，只是着眼点有所不同而已。解题中，实施简单化策略的途径是多方面的，常用的有 寻求中间环节、分类考察讨论、简化已知条件、恰当分解结论等。具体进行解题时，可寻求中间环节，挖掘隐含条件。一些结构复杂的综合题，就其生成背景而论，大多是由若干比较简单的基本题，经过适当组合抽去中间环节而构成的。因此，从题目的因果关系入手，寻求可能的中间环节和隐含条件，把原题分解成一组相互联系的系列题，是实现复杂问题简单化的一条重要途径。数学题解题的复杂性，主要在于它的条件、结论（或问题）包含多种不易识别的可能情形。对于这类问题，选择恰当的分类标准，把原题分解成一组并列的简单题，有助于实现复杂问题简单化。有些数学题，条件比较抽象、复杂，不太容易入手。这时，不妨简化题中某些已知条件，甚至暂时撇开不顾，先考虑一个简化问题。这样简单化了的问题，对于解答原题，常常能起到穿针引线的作用。有些问题，解题的主要困难，来自结论的抽象概括，难以直接和条件联系起来，这时，不妨猜想一下，能否把结论分解为几个比较简单的部分，以便各个击破，解出原题。

3.直观化策略

当学生面对的是一道内容抽象、不易捉摸的题目时，要设法把它转化为形象鲜明、直观具体的问题，以便凭借事物的形象把握题中所提及的各对象之间的联系，找到原题的解题思路。有些数学题，内容抽象，关系复杂，给学生理解题意增添了困难，常常会由于题目的抽象性和复杂性，使正常的思维难以进行到底。对于这类题目，教师可以引导学生借助图表的直观性，利用示意图或表格分析题意，使抽象内容形象化，复杂关系条理化，思维有相对具体的依托，便于学生深入思考，发现解题线索。有些涉及数量关系的题目，如果用代数方法求解，计算量偏大，可以让学生借助图形，给题中有关数量以恰当的几何分析，拓宽解题思路，找出简捷、合理的解题途径。不少涉及数量关系的题目，与函数的图象密切相关，灵活运用图象的直观性，常常能以简驭繁，获取简便、巧妙的解法。

4.正难则反原则

当数学问题的正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解。（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题。（2）换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题。（3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径。（4）等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，从而达到化归的目的。（5）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题。

掌握化归转化方法对于数学学习有着重要的意义。平时学习中，教师应努力培养训练学生的化归与转化意识，让学生对定理、公式、法则有本质的深刻理解，对典型习题进行总结和提炼，有意识地去发现事物之间的本质联系，从而更好地学好数学。

参考文献：

[1]郭正华.领悟化归与转化的魅力[J].中学生数理化2015，（10）.

[2]龙艳文.无处不在的“转化与化归”[J].新高考：高一数学，2016，（02）.

[3]吴建平.数学解题中的化归思想[J].青苹果（高中版），2015，（06）.

（责任编辑 史玉英）