几何最值问题大剖析

甘晓云+劳荣旦

几何中求最值问题是中考的常考题，也是同学们觉得困难的一类题. 其实这类题常以四种形式出现：求线段最值、求线段之和的最小值、求线段之差的最大值、求立体几何中的最值问题. 平时我们遇到的最值问题其实就是把之前学过的简单模型放在一个情境中去考察，只要懂得把问题中相应的几何最值模型抽象出来，问题就会有法可寻，有法可解. 下面结合几道中考题进行分类解析，供同学们参考.

类型一 线段最值——利用“垂线段最短”求最值

例1：如图1，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2[2]，点D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画 O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为（ ）

A. 2 B.[3] C.[5] D.3

【分析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短。我们可以这么添加辅辅线：过点O作EF的垂线，连接OE，OF，如图2所示。此时线段EF=2EH=2OE·sin∠EOH=2OE·sin60°，因此当半径OE最短时，EF最短，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，由圆周角定理可知∠EOH=[12]∠EOF=∠BAC=60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF=2EH.

解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，

连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，

∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2[2]，

∴ AD=BD=2，即圆O的直径为2，

由圆周角定理可知∠EOH=[12]∠EOF=∠BAC=60°，

∴ 在Rt△EOH中，EH=OE·sin∠EOH=1×sin60°=1×[32]=[32]，

由垂徑定理可知EF=2EH=[3].

故答案为B.

求线段的最值时，若所求线段长可转化为求一点到某一直线的距离，则将之转化为点到直线的距离，再利用“垂线段最短”原理，过该点作此直线的垂线，最后计算垂线段的长即可求解。

类型二 线段和的最小值——利用“两点之间线段最短”求最值

例2：如图3，A点是半圆上一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是直径MN上一动点， O的半径为1，则AP+BP的最小值为（ ）

A.1 B.[22] C.[2] D.[3]-1

【分析】首先找出点A关于直径MN对称的对称点A′，那么AP+BP的最

小值就是A′B的长度.

解：如图4所示，作点A关于MN的对称点A′，连接BA′，此时，BA′与直径MN的交点即为动点P的位置.

∵ A是半圆上一个三等分点，

∴∠AON=∠A′ON=360°÷2÷3=60°，

又∵点B是弧AN的中点，

∴∠BON=[12]∠AON=[12]×60°=30°

∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=60°+30°=90°

在Rt△A′OB中，由勾股定理得：A′B2=A′O2+BO2=1+1=2

得：A′B=[2]，

所以：AP+BP的最小值是[2].

故答案为C.

求线段和最小时，若已知的两点在动点所在直线的同侧，将动点所在的直线当作对称轴，作出其中一点的对称点，再将另一点与这个对称点连接（即三点共线时），则其与直线的交点即为所求动点所在位置，再求出所连接的线段长即为所求。

类型三 线段差的最大值——利用三角形三边关系求最值

例3：如图5所示，已知A[12，y1]，B（2，y2）为反比例函数y=[1x]图象上的两点，动点P（x，0）在x正轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是（ ）

A.[12，0] B.（1，0） C.[32，0] D.[52，0]

【分析】先求出A，B的坐标，接着设直线AB的解析式是y=kx+b，把A，B的坐标代入求出直线AB的解析式，再根据三角形的三边关系定理得出在△ABP中，|AP-BP|

解：∵把A[12，y1]，B（2，y2）代入反比例函数y=[1x]得：y1=2，y2=[12]，

∴ A[12，2]，B[2，12].

在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP-BP|

∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA-PB=AB，

即此时线段AP与线段BP之差达到最大，

设直线AB的解析式是y=ax+b（a≠0）

把A，B的坐标代入得：[2=12a+b12=2a+b ，]

解得：[a=-1b=52]，

∴直线AB的解析式是y=-x+[52]，

当y=0时，x=[52]，即点P的坐标为[52，0]时，线段AP与线段BP之差达到最大；

故答案为D.

利用轴对称变换，若已知的两点在动点所在直线的异侧，需把两定点放在动点所在直线的同侧，将该直线当作对称轴，作出其中一点的对称点，再将另一点与这个对称点连接（即三点共线时），则其与直线的交点即为所求动点所在位置，而连接的两点间的线段长即为所求，即转化为求线段的长度即可求解。

类型四 立体几何中的最值问题——转换为平面图形中的最值问题解决

例4：如图7，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ）

A.4[2]dm B.2[2]dm C.2[5]dm D.4[5]dm

【分析】要求金属丝的周长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可.

解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度.

∵ 圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，

∴ AB=2dm，BC=BC′=2dm，

∴ AC 2=22+22=8，

∴ AC=2[2]dm.

∴ 这圈金属丝的周长最小为2AC=4[2]dm.

故答案为A.

求立体图形中的最值问题时，先将立体图形的侧面展开成平面图，再根据“两点之间线段最短”找到题意所要求的最短路径，进而求解。