双参数指数分布平均寿命比率的区间估计

袁守成

（普洱学院数学与统计学院，云南普洱665000）

双参数指数分布平均寿命比率的区间估计

袁守成

（普洱学院数学与统计学院，云南普洱665000）

假定产品寿命服从双参数指数分布，在无替换定数截尾寿命试验场合下通过分布的Edgeworth展开和对应分位数的Cornish-Fisher展开方法得到了两独立产品平均寿命比率的渐进分布及置信区间。经过分析，所给出的置信区间不仅适用于大样本的情况，而且在小样本的条件下同样令人满意。

双参数指数分布；置信区间；Edgeworth展开；Cornish-Fisher展开

0 引言

产品质量是一个企业发展与竞争的重要因素之一，而产品的寿命是产品质量的重要评价指标。在生产中，经常会碰到这样一些问题：某产品寿命与其升级前或与其他同类产品寿命相比较是否有相对优势，是否能够达标。因此，两种产品平均寿命比率的估计是一个不可忽视的问题。双参数指数分布是产品寿命分析中常见的一种分布，设某产品的寿命X服从双参数指数分布，其密度函数为：

f(x;μ，θ)=θ-1e-(x-μ)/θ， x≥μ

记做X～EXP(μ，θ)，其中θ＞0为尺度参数，-∞＜μ＜∞为位置参数。容易得到产品的平均寿命为μ+θ，故两种独立产品的平均寿命的比率为它们各自参数之和的比率。关于这方面的研究已有一些成果。例如，在文献[1]中，给出了平均寿命比率枢轴量的渐进分布是标准正态分布，但该方法收敛速度很慢，在小样本要求下，效果不令人满意。在文献[2]中，作者基于广义变量的方法讨论了平均寿命比率的置信区间，但该方法涉及大量模拟计算，所得结论不具有一般性。本文主要研究两独立产品平均寿命比率的区间估计问题，主要依据Edgeworth展开和Cornish-Fisher展开的方法，该方法在很多统计推断问题[3-6]中有广泛的应用，但是在产品寿命的分析中却很少见到。本文利用这种方法对分布函数进行合理的逼近，利用更多的分布信息来减少平均寿命比率区间估计的误差。通过分析比较，本文给出的置信区间不仅适用于大样本的情况，在小样本的条件下同样令人满意。

1 预备知识及引理

由于在无替换定数截尾寿命试验中得到的数据是不完全的，故不能用样本均值的比作为平均寿命比率的估计。又因为产品的平均寿命为两参数之和，即θ+μ，所以一个自然的想法是用两参数的UMVUE之和作为平均寿命的估计，从而可以用来作为平均寿命比率的相合估计，因为当截尾数r→∞时，，所以。

定义2[3]：设是未知参数θ的样本容量为n的相合无偏估计，方差，且服从渐进，那么称：

关于累积量[3]的计算，设ξ为标准化后随机变量，则前四阶累积量分别为，而三、四阶的累积量κ3和κ4被认为是偏度和峰度，在正态逼近中用于纠正产生的偏差。在实际应用中，通常展开到第二项，也就是保留到：

定义3[3]：设Vn的分布函数满足Edgeworth展开，表示Vn的α分位点，即zα表示

为Vn分位点的Cornish-Fisher展开，其中：

V的分位点wα的Cornish-Fisher展开为：

利用中心极限定理，有：

而

2 主要结果

U的分位点wα的Cornish-Fisher渐进展开为：

其中

定理2：平均寿命比率R在置信水平为1-α的近似置信区间为：

其中

3 总结

由于所构造的置信区间是从平均寿命比率枢轴量的分布函数入手，其中保留了重要的分布信息，所以该区间不仅适用于大样本的情况，而且对小样本的估计也是令人满意的。不难发现，在无替换定数截尾寿命试验中，当截尾数r趋于无穷时，区间(3)和区间(4)是无差别的，但是当r不是很大时，置信区间中的关键wα因素也随着r做适当的调节。从而本文给出的置信区间与文献[1]中的区间相比较，本文给出的效果更优。

[1]Shi J H,Lin H M.Inferences on the Difference and Ratio of the Means of Two Independent Two-Parameter Exponential Distribution [J].Chinese Journal of Applied Porbability and Statistics，2013,1,(19).

[2]李建波，张日权.双参数指数分布参数比率统计推断的研究[J].应用概率统计，2010,34(1).

[3]Hall P.The Bootstrap and Edgeworth Expansion[M].New York: Springer，1992.

[4]Abramovitch L,Singh K.Edgeworth Corrected Pivotal Statistics and The Bootstrap[J].Ann.Statist.，1985,(13).

[5]Beran R.Simulated Power Functions[J].Ann.Statist.，1986,(14).

[6]Fujikoshi Y,Ulyanov V V,Shimizu R.Multivariate Statistics: High-distribution and Large-sample Approximations[M].America: Wiley，2009.

[7]周源泉,刘文生，田胜利.双参数指数分布的可靠性评估(I)[J].质量与可靠性，2004，(1).

（责任编辑/亦民）

Interval Estimation on the Ratio of Average Life for Two-Parameter Exponential Distribution

Yuan Shoucheng
(College of Mathematics and Statistical Science,Puer University，Pue Yunnan 665000,China)

Assuming that product life follows two-parameter exponential distribution,we obtain the asymptotic distribution and confidence interval of the ratio of two independent product life based on the Edgeworth expansion and Cornish-Fisher expansion in the case of fixed-number censored life time testing without replacement.Analyses indicate that the proposed confidence interval is not only suitable for large samples,but also equally effective for small samples.

two-parameter exponential distribution;confidence interval;Edgeworth expansion;Cornish-Fisher expansion

O211.3

A

1002-6487（2017）11-0014-03

普洱学院科学研究项目资助（201334）

袁守城（1981—），男，甘肃景泰人，博士研究生，讲师，研究方向：应用统计学。