归纳与演绎 互补更高效

杨超

乘法分配律的教学是整个小学数学阶段的一个难点，历年教学这个内容都要超出计划的课时数。即便这样，仍然有一部分学生理解不好、掌握不好、运用不好乘法分配律，容易出错。笔者列举两种不同的教学思路，以期对比、发现、提升。

归纳法教学模式：

一、情境引入，积累经验

生1：（4+10）×25=350。

生2：4×25+10×25=350。

师：你能说说这样列式的理由吗？

生1：我先算一共卖出几个篮球，再乘以单价就算出一共收入多少钱。

生2：我先算上午4个篮球卖了多少钱，再算下午10个篮球卖了多少钱，最后加起来就是一共收入多少钱。

师：非常好，这个问题大家用了两种方法来解决。数学上像这样得数相等的两个算式，可以写成等式：（4+10） ×25 = 4×25+10×25。

二、探究活动，理解算理

师：刚才大家解决了关于篮球的问题，接下来看看排球的销售情况：

师：你能用几种方法解决？只说算式，不计算！不计算你能否判断出这两个算式相等？说说理由。

（学生说出算式，解释同上。）

师：若排球单价不是18元了，排球个数也再是4个、10个，你还能写出类似的等式吗？试举例说明。

（学生举例说明，教师再板书3个左右等式。）

师：像这一类等式还能写多少个？为什么你们并没有计算，就认定这些等式成立呢？

生：我假设的单价是100元，上午卖5个，下午卖6个。11个排球的价钱，就等于5个排球的价钱加6个排球的价钱。

师：像这样的等式写得完吗？能否用一个式子代表所有的情况？

根据学生生成，得到一般表达式：（a+b）×c=a×c+b×c。

学生借助情境理解表达式的意义：它表示两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。这就是乘法分配律。

像上面这样由具体情境入手，积累一定的感知材料，然后在此基础上概括、抽象出规律，是典型的归纳推理的模式，也是小学阶段学生获得新知的主要方式。就乘法分配律而言，孩子们初学时易于接受，理解起来也不费力，因为有具体情境作为依托。但是孩子们在接下来的运用，特别是简算运用中，往往出现诸多错误。这是因为学生没能顺利地完成“去情境化”的过程，抽象过程中遇到了障碍。那么，能不能从乘法意义入手，借助某个形象，帮助学生理解乘法分配律的本质意义，达到更高的抽象程度呢？

演绎法教学模式：

一、激趣引入，构建模型

师：看着是绿的，吃的是红的，味道是甜的，吐出是黑的。（打一水果。）

生：西瓜！

（教师板书：13个【西瓜】+11个【西瓜】=？）

生：24个西瓜！

师：也就是（13+11）个【西瓜】=24个【西瓜】。只写“24个”行吗？

生：不行！一定要带上西瓜，不然别人不知道是24个什么。

师：“24个【西瓜】【西瓜】”呢？

生：也不行！没必要带上两次西瓜，已经算了13加11，已经合并在一起了。

这样的设计，是针对学生在后面运用时要么漏了因数，要么重复乘两次因数而为之。

二、探究活动，理解算理

师：方括号里除了放西瓜，还能填什么？

（同小组的学生互相讨论，并各自在草稿纸上填出不同的答案。）

生1：我写的是13个【苹果】+11个【苹果】=（13+11）个【苹果】=24个【苹果】。

生2：我写的是13个【人】+11个【人】=（13+11）个【人】=24个【人】。

生3：13个【圈】+11个【圈】=（13+11）个【圈】=24个【圈】。

……

师：填13个【苹果】+11个【白菜】行不？为什么？

生3：不行，只有同类的才能相加减！

生4：我写的是13个【2】+11个【2】=（13+11）个【2】=24个【2】。

师：怎么证明相等？

生4：13×2=26，11×2=22，加起来是48；13+11=24，24×2=48，所以相等。

师：如果不计算，能不能说明相等呢？

生4：把2看成西瓜，13个西瓜加上11个西瓜就等于24个西瓜。

师：下次填其他的数还需计算吗？

生4：不用了！

师：要注意什么事项？

生4：方括号里要填相同的数，就像都是西瓜才能加在一起一样的。

师：下面这题你会做吗？

（教师板书：

生5： 5×10+4×10=9×10。

生6：10×5+20×5=（10+20）×5=30×5。

师：能否用一个式子表示这样的规律呢？

根据学生生成，得到一般表达式： a×c+b×c =（a+b）×c。

这样设计，是去情境化后，让学生能在形式上理解乘法分配律，也就是理解演绎推理中三段论的大前提，那么以后只要符合这种形式的算式，都可以使用乘法分配律。从内容上看，可以帮助学生从乘法意义的角度理解乘法分配律。我们可以简单归结为：在将两个乘积相加的算式中，把两个乘法中相同的因数看作“西瓜”，算式就简化为：A个【西瓜】+B个【西瓜】=（A+B）个【西瓜】。反之亦然。

事实上，在后面运用乘法分配律进行简算时，学生很容易将之转化为“A个西瓜+B个西瓜”的模式。特别是面对诸如99×26、99×26+26这样的题，只要设问：你心目中的西瓜是什么？他们随即就能说出：

“99个西瓜等于100个西瓜减去1个西瓜。”

“99个西瓜加上1个西瓜等于100个西瓜。”

其实，在这个过程中，已经有学生逐渐不需要“西瓜”的帮助了，直接答道：

“99个26就等于100个26减去1个26。”

“99个26加上1个26就等于100个26。”

……

用归纳推理模式教学时，好处有：1.从具体情境入手，符合孩子们的认知特点；2.借助情境理解算理比较方便；3.乘法分配律的展开式和合并式可以同步进行，不存在认知差异。问题是，去情境化的难度比较大，导致后面的运用中错误频现；另外，归纳推理毕竟是不完全归纳，不够严密。

用演繹推理模式教学时，其本质是从乘法的意义上理解乘法分配律，严谨是其优点。但是其大前提又过于抽象，怎么办？鉴于小学生形象思维比较强的特点，于是借助“西瓜”这一具体形象，帮助他们建立一个模式：A个【西瓜】+B个【西瓜】=（A+B）个【西瓜】。

对于这种简单有趣的模式，那些理解能力较弱的孩子，尤其喜欢这样去理解。

实践证明，用这两种模式教学这个内容后，能有效形成互补，学生也就能较好理解、掌握乘法分配律了。

在多元教育的今天，有的孩子喜欢用归纳法学习，有的孩子更适合演绎法的方式。尽管小学阶段的学习还是以归纳法居多，但我们也要适当为他们以后的学习奠基，我们多提供一种方式，他们也就多一种选择了。

（作者单位：广东省深圳市福田区荔园小学）