谈新课标下的立体几何教学

栾凤龙

摘要：第一，统一理念，反思立体几何教学的意义和培养方向。重要的不只是学了多少，而是学到了什么，是否学到了学习的方法和对知识的感悟。第二，化难为易，探究立体几何学习和转化的切入点。第三，挖掘教材中实践性题材，培养学生动手、动脑的情趣及合作意识与创新能力。激发学生接受知识情感的需要和真情感悟，体会合作的快乐，鼓动研究、探索和创造的激情。第四，变换角色，激情、激趣，走下讲台，共同参与。学习是充满探究、合作、体验和充满乐趣的活动，教师不只是当“导演”，有时也需要当演员。

关键词：新课标；立体几何教学；教师；学生

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）10-0103

立体几何教学是高中数学教学很基础、很重要的组成部分，它是在学生认知能力发展基础上的观察能力、空间想象能力、分析能力、逻辑思维能力的进一步拓展。就其现实意义而言，比平面几何更进一步接近生活，更生动、实用，如“不过河用皮尺、测角仪来测量河对岸某建筑物的高度”，“一人沿一定坡度的河堤斜面上与堤脚的水平线成某一角度的夹角的直道上行走，求行走某一距离后上升的高度。”等都是与立体几何知识生动相关的实例，不胜枚举。

就其理论而言，它是建立在三维空间或多维空间基础上，将实体（立体图形）以平面图形形式展示，为学生认知。这其中涵盖了观察、分析、推理、计算、演示、空间想象、逻辑思维等一系列复杂的认知活动，是在数形结合基础上的数、形、体在多维空间的演变和发展，这其中蕴涵了思维的收敛性、发散性等思维活动的形成和培养，因此立体几何是平面几何知识的升华和再创造。

就高一学生的认知水平而言，绝大部分学生对“形”的认识是基于平面图形上，对空间的线、面、体的认识往往是抽象的，它需要在平面图形直观性基础上进一步认知、整合和再造，这样就形成了部分学生的认知障碍，因而如何使立体几何学习化难为易，学之有法是教学值得研究和探讨的问题。

一、统一理念，反思立体几何教学的意义和培养方向

首先，要明確我们的教育教学是一切从学生的发展和需要出发，以学生学习的潜在性、主动性、差异性为基点，以社会责任感和道德、身心健康及创新精神是学生终身发展最重要的基本素质为宗旨的培养目标。然而，在高考升学压力之下，难免有急功近利现象，而把教学变成了培养尖子生、重点生的教学，从而忽视了大部分学生的培养，使一些学生成了“弱势群体”。教学的成功与得失并不在于培养了多少重点大学生，其真正意义在于有多少学生受益，是否在于最大范围地使更多的学生得到他们有益于今后学习发展所需要的知识以及他们的能力得到最大程度的培养与提高。重要的不只是学到了多少，而是学到了什么，是否学到了学习的方法和对知识的感悟。如果只从升学角度考虑，把它当成一种负担，甚至为升学不得不完成的任务去完成，就将失去了立体几何旨在培养学生观察、分析、空间想象、逻辑思维、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力等，作为今后学习发展以至终身学习的知识储备的深远意义。相反，如果把它当成一种终身学习的知识储备去积累，今后发展与能力的需要去培养，就会为学生今后学习的可持续性发展奠定基础，就会使学生在情感上乐于接受、钻研，“乐之者不如好之者”。

二、化难为易，探究立体几何学习和转化的切入点

立体几何的最大特点是把空间的立体图形靠想象、加工，在平面中来展示，这就使它缺少了平面图形的直观性，识图的方便与简捷性的特点，计算、推理难而不便。然而，通过研究不难发现，其问题的解决实际上很多都是以平面几何知识为母板加以转化来实现的。如长度的计算，线线、线面、面面的平行与垂直等，因此研究立体几何问题与平面几何问题的衔接和转化是认识解决问题的关键，笔者暂且把自己在教学中悟得的这种方法叫做“体——面——线——点”法，即寻求将立体图形问题转化为平面图形问题，再在平面图形中寻求或构造特殊的线，最后分析解决问题运用的知识点。

1. 解决问题常用的图形与知识点

（1）两直线平行。如证明线、面平行，面、面平行最终都转化为证明两直线平行，两条异面直线的夹角往往通过将其中的一条或两条平移成，其中常用的知识点是与中点相关的三角形的中位线、平行四边形和平行线分线段成比例定理的逆定理等。

例1. “如图（1）在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AD=1，DB=2，将△ACD绕CD旋转至A1CD，使A1与点B之间的距离A1B=■，求异面直线A1C与BD所成角的余弦值。”

就解题思想而言，首先要将两异面直线A1C、BD进行平移，转化成一个三角形的两条边。其方法有几种，如，①如图（2）甲，作CE∥DB且CE=BD，连结BE，A1E，则∠A1CE即为A1C与BD所成角；②如图（2）乙，作A1E∥DB且A1E=BD，连结DE，CE，则∠CA1E即为A1C与BD所成角；③如图（2）丙，作边BC、CD、A1B的中点E、M、N，连结ME，NE，MN，DN，则∠MEN即为A1C与BD所成角；④如图（2）丁，作DE∥A1C且DE=A1C，连结BE，A1E，则∠BDE即为A1C与BD所成角……

（2）等腰三角形的三线合一

例2. “如图（3），已知在正三棱锥S-ABC中，高SO=3，底面边长■■为过棱AB作截面ABD交侧棱SC于点D，截面与底面所成二面角为θ，当θ为何值时，SC与平面ADB垂直？”

解决此题的关键是作出∠DEC=θ，而做法：（上接第103页）作CE⊥AB，SO⊥CE，或连结SE，ED，SO⊥CE是因为△ASB，△ABC，△ASC，△SBC都是等腰三角形，依据是等腰三角形的三线合一。

（3）直角三角形及其相关的勾股定理和逆定理

联系比较多的图形是矩形及正方形，利用矩形邻边的垂直关系及正方形（或菱形）对角线互相垂直平分的关系。如下例图（4）。

2. 在解题过程中，能够恰到好处地将相关的立体图形进行“转化”是简单易行的、最直观的好办法

（1）化立体图形为相关的平面图形的平面转化法

例3.“如图（4），S是正方形ABCD所在平面外一点，SA面ABCD，E是SC上一点，SA=4，AB=2，求A到平面SBD的距离”。

此题解题过程中，常规作辅助线的方法是：连结AC，BD，交于点O，连结SO，作AH⊥SO，用到的几个量是：计算OA，SO，AH这三条线段的长度，而它们的计算都要在具体的图形矩形ABCD和Rt△SAO中完成，但这些图形毕竟是空间的，其位置关系（如垂直）等并不直观，计算易错，如果将其转化为图（4）甲、（4）乙则“海阔天空”。

（2）求点到平面距离的等体积转化法

在求点到平面的距离时，用从这点向已知平面作高的常规方法去解往往麻烦的多（如例4），有时也很困难，特别是其中的辅助线及其相关线段的量的关系很不直观，分析、计算、证明等都有一定的难度，如果用等体积转化法解，往往化难为易，问题变得简单多了。

（3）利用三角形的中位线或平行四边形等的平移转化法

如前面例1（略）；

3. 抓住转化的关键点是理解、记忆、认知的最高境界

如在棱柱知识教学中，抓住了“底面图形的形状”及“侧棱是否与底面垂直”这两点就能快速而准确地区别识记各种棱柱。

三、挖掘教材中实践性题材，培养学生动手、动脑的情趣及合作意识与创新能力

能够讓学生动起来，即动手、动脑，与教师同学互动等，以较高的热情积极地参与的最好方法就是走进生活，挖掘教材中实践性题材，这样就能更好地做到理论联系实际，将抽象、枯燥而单调的知识变得生动有趣，增强了学生接受知识的亲和力。

四、变换角色，激情、激趣，走下讲台，共同参与

培养学生的合作意识，探索精神和解题责任感，是激发学生的认知情趣的内在动力，教师应该从“传道、授业、解惑”者的角色及时地转变成为学习活动中的引导者、参与者，从“点菜者”到“菜单的提供者”，成为学生学习的伙伴。走下讲台，参与到学生的学习活动之中，及时地发现学生的闪光点，并且虚心地向学生学习，使学生体会到学习是一个活动、一个过程、一种体验、一个与人合作的平台。同时，通过共同参与，让学生体会到人人都是受益者，时刻都有人在与自己同行，都有人在帮助自己，也都有人在需要自己去帮助，让他们体会到自己的主人地位，体会到自己是这个活动中不可缺少的“演员”，从中感悟成功、收获快乐。

总之，学习是充满探究、合作、体验和充满乐趣的活动，学习需要独立思考，有时更需要共同参与，这样才有利于相互促进，共同进步，共同提高。其中，教师在这个过程中不只是当“导演”，有时也需要当演员，学习的方法就如同一部剧本情节发展的构思，它起着非常关键的作用。因此，教师不仅要有“导演”的激情，合作意识，更重要的是要有高超的传授学习方法的技巧。

（作者单位：内蒙古呼伦贝尔市牙克石市第五中学 022150）