一题一惑 一探一获——利用曲线的公切线研究函数不等式

●

(单县第一中学 山东单县 274300)



一题一惑一探一获
——利用曲线的公切线研究函数不等式

●卫小国

(单县第一中学 山东单县 274300)

将函数不等式的求参与证明问题，利用分离函数的方法，转化为两条曲线的公切线进行解答.文章给出一种新的解题思路，在减少运算的同时，培养学生数形结合与转化化归思想的灵活运用.

不等式；公切线；数形结合

含参函数不等式问题，因其是考查学生问题转化能力、数学运算能力和创新解题意识的好载体，而成为各地考试命题的热点.笔者结合一次教学中学生对所提供解法的释疑，提出一种利用曲线的公切线解函数不等式的方法，与大家共研.

例1已知函数f(x)=ax2-lnx(其中a>0)有两个不同的零点，求a的取值范围.

学生在课堂上提供了两种解法，解题切入点不同，但都属于常规方法.

1 一题多解

解法1求得导函数

故

评注解法1从导数的应用入手，结合函数的单调性、极值与最值，研究函数的性态，掌控解题的关键(函数的最小值决定零点的个数)，整个解题过程自然[1]；解法2借助辅助函数g(x)的零点，是典型的数形结合思想,相比解法1似乎更巧妙，但本质上与解法1异曲同工.

2 一解有惑

有学生也获得正确的结论，但是给出了不同的解答，过程如下：

图1

设g(x)=ax2，h(x)=lnx,可知两个函数图像只有1个公共点.设该公共点为(x0,y0)，则满足

图2 图3

笔者针对这种“公切线分隔法”，提炼出一般解题思路为：证明或求解f(x)

3 一探有获

笔者运用“公切线分隔法”研究近几年数学高考试题中的类似问题,发现此类问题可进一步分为“公切线共切点”和“不共切点”两种情况，或者曲线分别处于切线同侧和异侧两种位置关系.近几年考查此类问题的高考题有：2013年全国数学高考新课标卷Ⅱ理科第21题、2014年辽宁省数学高考理科第11题、2014年全国数学高考新课标卷Ⅰ理科第11题、2015年山东省数学高考理科第21题第2)小题.笔者以前两道高考试题为例，简单阐述不共点同侧与共点同侧这两类题型的解法.

例2已知函数f(x)=ex-ln(x+m)，当m≤2时，证明：f(x)>0.

(2013年全国数学高考新课标卷Ⅱ理科试题第21题)

分析当m≤2时，

f(x)=ex-ln(x+m)≥ex-ln(x+2),

只需证

ex-ln(x+2)>0.

易知y=ex与y=ln(x+2)的图像没有公共点，如图4，结合函数不等式知ex≥x+1(其中y=ex与y=x+1仅相切于点(0,1)，且除公共点外，前者在后者的上方).另外，函数不等式x+1≥ln(x+2)类似的几何特征为：y=ln(x+2)与y=x+1仅相切于点(-1,0)，此外前者在后者的下方.即y=ex与y=ln(x+2)分别处于公切线y=x+1的两侧，由图4知f(x)>0显然成立.

图4 图5

例3已知函数f(x)=ax3-3x2+1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围为

( )

A.(2,+∞) B.(1,+∞)

C.(-∞,-2) D.(-∞,-1)

(2014年全国数学高考新课标卷Ⅰ理科试题第11题)

x1=-1，a=-2,

进而求得公切线为6x+y+4=0.当a=-2时，

F(x)=g(x)-h(x)=-2x3-3x2+1=

(1-2x)(x+1)2,

评注将不等式转化、设计成两个函数的不等关系；辅以简图分析，直观呈现对应曲线间的位置，为数形结合解决不等式问题提供依据.选取特殊情形(曲线的相切)为突破，巧妙获取参数的范围,并推理论证，使得该不等式求参问题获得合理解决.从以上试题的解答中，可见关键是将不等式拆分为两个常规的基本函数的不等关系.从函数图像上易于发现两者位置上的关系，进而确定化归的可能与类型；辅以数形分析，会使得解答相对简捷[3].

4 解后有疑

以上例题中在切点附近，其中一条曲线始终在另一曲线的上方，而2015年山东省数学高考理科第21题的第2)小题却略有不同.

例4设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x)，其中a∈R．

1)略.

2)若对任意x>0，f(x)≥0成立，求a的取值范围．

(2015年山东省数学高考理科试题第21题)

图6

分析令g(x)=ln(x+1),h(x)=-a(x2-x)，如图6，当a≥0时才有

ln(x+1)+a(x2-x)>0.

易知g(x)与h(x)相交于点(0,0)，由g′(0)=1,h′(0)=a知g(x)与h(x)存在共点的公切线,此时a=1且公切线为y+x=0.

当a=1时，

F(x)=g(x)-h(x)=ln(x+1)+x2-x,

当x>0时，F′(x)>0，则F(x)在(0,+∞)上单调递增,即F(x)>F(0)=0恒成立.

综上所述，当a=1时，在y轴的右侧两条曲线的位置关系为:g(x)的图像恒在h(x)的上方.由图6知a<1也满足，故a∈[0,1].

将复杂的不等式问题简化为函数的大小问题，水到渠成地运用数形结合思想，将其化归为曲线位置关系的研究.解题过程简洁，运算难度降低，解法略显简捷，以特殊化解决问题，展示了较高的创新意识和辨析能力.

有兴趣的读者，可继续研究下面两道高考试题：

例5当x∈[-2,1]时，不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是

( )

C.[-6,-2] D.[-4,-3]

(2014年辽宁省数学高考理科试题第11题)

(2010年天津市数学高考文科试题第20题)

反思导数解不等式问题的基本方法是构造函数模型，如何构造、怎样运算、何时分类讨论都是难点.通过此类题可以考查学生的综合数学素养，因此参考答案更多的是构造函数解决，利用导数与单调性知识求最值.若考生熟练掌握常见曲线的几何特征，则能“以形助数，以数解形”，运用直观的方式呈现不等关系，从而在模式化的解法基础之上，又提供了一种新的思路.如此是试题的巧解还是解答的巧合，亦或是命题人的有心，值得品味！

[1] 霍福策，曹军.转化与化归在不等式恒成立中的应用[J].数学教学研究.2014(1)：45-48.

[2] 李金兴,许兴铭．函数与导数专题[J]．中学教研(数学)，2017(2)：33-38．

[3] 陈晓明.问题到底出在哪儿呢——对一道导数试题解法的探究[J].数学教学，2017(1)：12-13.

2017-02-25；

2017-03-26

卫小国(1979-)，男，湖北武汉人，中学一级教师.研究方向：数学教育.

O123.1

：A

：1003-6407(2017)07-21-03