高中函数与微积分

何维炯

摘要：微积分属于高等数学，是研究函数微分、积分等概念和应用的一个数学分支，是我们学习高等数学中的基础学科。微积分的研究对象为函数，以前的学习教材中初等函数包括常值函数、指数函数、幂函数、三角函数、反三角函数及对数函数六大类，十六种函数。新课标教材通过在全国三分之二省市的实验应用，关于函数与微积分相关内容的成效与问题逐步显现。基于此，本文就新课程标准中高中函数与微积分的内容进行探讨与研究。

关键词：高中；函数；微积分

前言：在高中数学的新课程中，函数与微积分的内容存在一些问题，例如函数与映射内容的教学内容，需要调整，以映射概念讲函数概念，加强对映射、反函数等教学内容，有助于我们对其他函数的学习。在微积分内容的教学中，极限概念的讲解可以加深，微积分作为高等数学的基础，应该在高中阶段打好基础，为我们以后的数学学习提供更多支撑。

一、映射、函数、反函数概念的研究探讨

1.映射与函数

函数的概念是高中数学相对重要的教学内容，在新标准教材内，函数的概念中强调，函数是刻画现实中重要运动变化规律的模型，是通过一个事物变化规律，推演另一个事物变化规律的一种数学模型，主要表现两者之间的对应关系。概念中还指出，要结合实际运用函数概念建立模型，削弱了定义域、至于的繁难程度。通过人性化教学的技巧训练，可以使我们更好理解函数的思想及运用，从而实现新课程函数的创新与应用。

但是，新课程中关于函数与映射的安排顺序，需要重新研究探讨。如安徽的一位教研老师提出：新教材先给出函数再给出映射的概念先后顺序，是一个由特殊到一般的过程。按照新教材的顺序讲解函数与映射，很多同学表示对定义无法理解，对定义中的“f”所表示的对应关系理解不清，与之对应先讲解映射，再让同学们理解函数的概念会容易的多。许多实验学校的老师都提出了此类问题，在自身学习过程中，我们也感受到了新课程中这一内容的负担，内容上应该加以修正[1]。

映射概念在从前的教学中，都是为引导函数概念而引入的，对映射的重视程度不高，但新课程中虽提升了映射的重要性，却忽视了它的引导性。新课程强调函数内容在实际中的应用价值，但这与重视映射之间并没有矛盾关系，我们在学习函数的实际应用价值的同时，先要进行映射你内容的学习，这样的有机结合，能够使函数教学更加容易。

2.反函数

新课程中对于反函数的内容相对减少，学习要求也大大降低，但实际上，反函数的概念是后续初等函数的关系与性质的支撑依据，有利于同学们通过联系观点的方式认识其他各类函数，对于同学们之后学习初等函数有很大帮助。例如，学习对数函数时，如果根据已经学习过的指数函数与反函数的概念及性质进一步学习，能够更容易将对数函数熟练掌握，提高学习效率[2]。以国外的数学教学案例来看，俄罗斯的数学基础教育内容中就包括反函数及其定义域和值域，反三角函数和反函数图像等内容，由此可见，反函数概念的教学内容，应该更加丰富并提高学习要求。

二、微积分相关问题的研究探讨

新课程中关于微积分的相关内容，做出了重大革新，加強了导数与积分的应用教学。

1.导数

新课程对于导数及其应用的内容变化主要是，突出导数概念的本质。以往的数学教学中，往往是先学习概念及性质，这样直接导致学生对极限概念的任职与理解不够，形象对导数本质的认知。新课程对这一学习误区进行了调整与改进，内容讲解时，通过实际背景和具体实例来验证导数思想和本质，例如，速度、效率、膨胀率、增长率等，引导同学们感受从平均变化率到瞬时变化率的过程，学习导数概念。此外，课程还强调导数在研究事物的变化率、变化速度的研究中，体会导数处理问题时的一般性和有效性[3]。

但新课程中，摒弃了极限概念，直接讲解积分概念，这一内容上的改革引起了各地数学教育工作者的重视。山东省聊城大学的教师通过实验，得出“极限是学生学习导数的关键和难点”这一结论。微积分中的重要概念大多用极限来定义，导数也是如此，如果在讲导数的时候，避开极限，这种形式导致同学们的学习体系有漏洞，对微积分的基础概念学习不足，以至于在此后的微积分学习过程中，会相当吃力。因此，新课程的改革，需要尊重同学们的学习认知方式，将极限的知识拿回课本，完善我们的学习内容[4]。

2.微积分

在高中教学中，就开始让学生们涉猎微积分内容，有利于同学们的学习与发展，目前，已有许多国家将微积分知识加入高中的学习教材中。微积分作为数学科学中的一个重要分支，内容十分丰富，因此，新课程中对于微积分内容的控制十分重要，根据学生的学习基础与理解能力，新课程中关于微积分的初步教学中，导数和定积分的教学主要在于应用价值方面，由于整体数学教学的课时限制，微积分的内容并不多，但在结构中，例如极限的内容需加以重视[5]。

此外，新课程新课程中不定积分的内容几乎没有，需要一定程度的充实、丰富，不定积分的与定积分之间协调内容进行教学，才能让同学们达到良好的学习效果。微积分教学作为一项国际共同课题，在日本的高中数学课程中，就函数 和极限、微分及其应用、积分及其应用编写了一部《数学三》，在后期的《新编数学三》中，内容增加至数列极限、函数极限、微分、微分的应用、积分、积分的应用共六个章节。由此可以看出，在高中课程中，微积分内容还不够完善，需要根据我们的学习情况，进行适当的调整、增加。

综上所述，通过对高中数学新课程中，相关函数与微积分内容的分析与研究，可以看出现行的新课程教学内容对同学们学习的有利影响与缺陷，高中数学教中函数与微积分的教学，应该重视基础性原则，在学生基础数学教学内容上，重视我们的理解、掌握与熟练运用。函数与微积分是具有广泛的应用作用的数学内容，在教学内容的设计上，可以借鉴国外先进的教学方式，以及教学内容，并随着时代的发展与变革进行适当的调整。

参考文献：

[1]彭顺英.高中微积分教学现状的调查与分析[D].湖南师范大学，2014.

[2]罗小凯.高中函数教学实践问题研究[D].河北师范大学，2014.

[3]王洪岩.高中生导数概念的教学研究[D].河北师范大学，2014.

[4]易娟.关于高中微积分的教学研究[D].湖南师范大学，2012.

[5]王珞.高中生微积分知识理解现状的调查研究[D].贵州师范大学，2015.

（作者单位： 湖南省株洲市第二中学1507班 412007 ）endprint