TTI介质声波方程分裂式PML吸收边界条件研究

张 衡，刘 洪，李 博，丁仁伟，李丽青，李福元

（1．国土资源部海底矿产资源重点实验室，中国地质调查局广州海洋地质调查局，广东广州510075；2．中国科学院地质与地球物理研究所，中国科学院油气资源研究重点实验室，北京100029；3．中国石油化工股份有限公司石油物探技术研究院，江苏南京211103；4．山东科技大学地球科学与工程学院，山东青岛266590）

TTI介质声波方程分裂式PML吸收边界条件研究

张 衡1，刘 洪2，李 博3，丁仁伟4，李丽青1，李福元1

（1．国土资源部海底矿产资源重点实验室，中国地质调查局广州海洋地质调查局，广东广州510075；2．中国科学院地质与地球物理研究所，中国科学院油气资源研究重点实验室，北京100029；3．中国石油化工股份有限公司石油物探技术研究院，江苏南京211103；4．山东科技大学地球科学与工程学院，山东青岛266590）

针对倾斜横向各向同性（TTI）介质声波波动方程的特点，研究了TTI介质分裂式完全匹配层（Split perfectly matched layer，SPML）吸收边界条件。首先对常见的几种TTI介质声波波动方程进行了归纳，并从TTI介质波场传播稳定性的角度进行对比分析，结果表明，引入横波分量的TTI介质纵横波耦合方程适用于TTI介质。然后从TTI介质纵横波耦合二阶波动方程出发，推导得到其一阶波动方程的形式，进而推导出一阶波动方程形式的SPML波动方程，并给出了高阶交错网格有限差分算法的具体实现过程。数值模拟结果表明，SPML吸收边界条件能达到很好的人工边界反射吸收效果，相比优化海绵吸收边界条件，其人工边界反射吸收效果更好。

TTI介质；分裂式完全匹配层；纵横波耦合方程；一阶波动方程；高阶交错网格有限差分

Keywords：TTI media，split perfectly matched layer，P－wave and SV－wave coupled equation，first－order wave equation，high－order staggered－grid finite－difference

各向异性正演数值模拟是各向异性逆时偏移和各向异性全波形反演的基础［1］。1986年，THOMSEN［2］提出了在大多数情况下地球介质为弱各向异性（各向异性参数为10%～20%）的观点，并在弱各向异性假设下提出弱各向异性横向各向同性（TI）理论，即用3个各向异性参数——Thomsen各向异性参数ε（纵波各向异性参数）、δ（变异系数）和γ（横波各向异性参数）表述P波、SV波及SH波特征。此后30年，关于各向异性介质的研究基本都是基于弱各向异性理论。

1996年，TSVANKIN［3］基于THOMSEN的弱各向异性理论推导得到P－SV波VTI介质精确相速度频散方程。2006年，ZHOU等［4］从TSVANKIN相速度频散方程出发，推导得到TTI介质qP波波动方程，该方程虽然采用了令横波速度为0的TTI声波近似，但仍然是一个P－SV波耦合的波动方程，因为各向异性波场传播过程中伪SV波仍然存在［5］，而且在角度剧变（即各向异性的对称轴在空间变化较快）情况下波场传播存在严重的不稳定性问题［6］。为了解决TTI介质声波近似各向异性波场传播存在的不稳定性问题，FLETCHER等［7］引入适当的横波分量来减小角度剧变时产生的不稳定性，但是同时也带来了较强的伪SV波假象。DUVENECK等［8－9］从Hooke定律和运动学方程出发推导得到新的TTI介质方程；ZHANG等［10－11］从VTI介质弹性波方程出发采用自共轭旋转方式推导出一个自共轭3DTTI波动方程。但上述方程仍然存在伪SV波假象且在角度剧变时不稳定。FOWLER等［12］从特征值矩阵分析的角度对各种TTI介质耦合方程的精度和稳定性进行了综合分析。BUBE等［13－14］讨论了二阶TI介质波动方程在TTI介质声波近似情况下不稳定性产生的原因并推导了新的声波和弹性波TI介质一阶波动方程。

TTI介质正演时，吸收边界条件至关重要，因为吸收边界条件极大地影响正演模拟效果。地下介质被视为无限半空间，而计算区域有限，因此在人为截取的有限空间内求解波动方程会导致很强的人工边界反射，必须采用吸收边界条件对人工边界反射进行有效吸收。目前常用的吸收边界条件包括单程波旁轴近似吸收边界条件［15］和衰减吸收边界条件［16－17］两大类。CLAYTON等［15］提出的单程波旁轴近似吸收边界条件应用广泛，在小角度反射时吸收效果较好，但对大角度入射的波吸收效果较差。CERJAN等［16］提出了添加阻尼层的海绵吸收边界条件，该边界条件不受波动方程形式的限制，很容易实现，但是边界吸收的效果仍较差。BORDING［18］对CERJAN等［16］提出的阻尼系数进行了优化，计算得到优化的海绵吸收系数，但是计算效率相对CERJAN等的方法有所降低。BERENGER［17］最早在电磁学领域提出了完全匹配层（PML）吸收边界条件，能达到完美的边界吸收效果。CHEW等［19］将PML吸收边界条件用于地震波数值模拟中，取得了很好的应用效果。BÉCACHE等［20］对各向异性介质的PML吸收边界条件进行了深入研究，指出各向异性介质应用PML吸收边界条件时存在不稳定性。PML吸收边界条件是目前应用效果最好的吸收边界条件，代表吸收边界技术研究的前沿发展方向，但是其公式推导和编程实现复杂，需要对不同的波动方程推导不同的PML方程形式。

作为PML吸收边界条件技术研究的一个重要方面，分裂式PML（SPML）吸收边界条件已经得到广泛应用。COLLINO等［21］提出二维弹性波介质一阶速度 应力方程的SPML算法；裴正林［22－23］将该算法推广到三维弹性波介质，实现了基于SPML吸收边界条件的三维弹性波介质波动方程交错网格高阶有限差分法数值模拟。

本文研究的TTI介质时间域SPML吸收边界条件能很好地吸收边界反射，实现TTI介质高精度数值模拟。

1 方法原理

1．1 TTI介质耦合qP波波动方程

P－SV波VTI介质精确相速度频散方程为［3］：

式中：f＝1－v2SZ／v2PZ，vSZ表示横波速度，vPZ表示纵波速度；vP（θph）表示相速度，θph表示相速度传播角度；ε和δ表示Thomsen各向异性参数［2］。

在推导过程中直接引入TTI介质声波近似（TTI介质声波近似情况下直接令横波速度vSZ＝0）［24］，此时推导得到的2DTTI介质方程为［4］：

式中：θ为对称轴倾角；p为地震波场；q为辅助波场；H1和H2为辅助变量，其3DTTI方程形式为：

式中：φ为三维方位角。当θ＝0时，（3）式退化为3D VTI方程（垂直对称轴的TI方程）；当θ＝90°时，（3）式退化为3DHTI方程（水平对称轴的TI方程）；当三维方位角φ＝0时，（3）式简化为2DTTI方程。VTI介质和HTI介质都可以看作是TTI介质的某种特殊情形。

本文将ZHOU等［4］、DUVENECK等［8－9］和ZHANG等［10－11］直接采用vSZ＝0的TTI介质声波近似思想推导得到的TTI介质方程归纳为基于TTI介质声波近似的TTI介质方程。但是这种方程在实际计算中往往会产生数值不稳定问题，尤其是在角度剧变的情况下［6］。FLETCHER等［7］完全放弃了采用TTI介质声波近似的思路，提出在方程推导中保留横波分量。引入横波分量的方式能有效消除TTI介质声波近似产生的不稳定问题，FLETCHER等［7］引入横波分量推导得到的2D TTI介质纵横波耦合qP波波动方程为：

TTI介质波场模拟首先要满足物理稳定性条件，即P－SV波VTI介质精确相速度频散方程（（1）式）中的相速度的平方不能小于0［26］：

由（5）式推导得到TI介质波场模拟中的物理稳定性条件为：

在TTI介质声波近似情况下，vSZ＝0，则f＝1，由（6）式推导得到TTI介质声波近似情况下的物理稳定性条件为：

在变速介质情况下，由于对变系数求导会带来微分算子的附加项，影响算子的稳定性，因此，我们借助对称算子理论，将原始偏微分方程适当对称化，得到与常系数偏微分方程一样稳定的微分算子［11，27－28］。

经实际测试，TTI介质波场传播不稳定的情况主要由角度剧变产生，包括对称轴倾角θ或者三维方位角φ快速变化的区域［6］。本文设计了一个楔形2DTTI介质模型用于算法稳定性测试（图1），模型的主要特点是角度剧变（图1d），因此能很好地测试各向异性波动方程算法的稳定性。模型横向网格数和纵向网格数都为300，横向网格间距和纵向网格间距都为10m。

图1 楔形2DTTI介质模型各向异性参数变化情况

数值模拟时，雷克震源子波主频取25Hz，传播时间为3s，时间采样间隔为0．000 5s，吸收边界条件采用优化海绵吸收边界条件［18］，分别采用TTI介质声波近似方程（ZHOU等［4］方程）和引入横波分量的TTI介质纵横波耦合方程（FLETCHER等［7］方程）来进行数值模拟。

从t＝1s时刻的波场快照（图2a，图2b）可以看出，ZHOU等［4］方程基本上还能保持稳定传播，FLETCHER等［7］方程由于引入了横波分量，产生了伪横波（SV波）噪声（图2b中红色箭头所示）。而从t＝1．5s时刻的波场快照（图2c，图2d）可以看出，ZHOU等［4］方程由于楔形界面处角度剧变已经产生不稳定现象，FLETCHER等［7］方程由于引入了横波分量，能减小不稳定情况的产生，仍然能保持稳定传播。因此FLETCHER等［7］各向异性波动方程是一种稳定的TTI介质波动方程，我们讨论的二维和三维TTI介质正演模拟将采用该方程。

本文对常见的TTI介质波动方程进行了归纳，认为基于TTI介质精确相速度频散方程推导得到的TTI介质波动方程可以分为两类：一类为TTI介质声波近似方程；另一类为TTI介质纵横波耦合方程。其中TTI介质声波近似方程可以视为TTI介质纵横波耦合方程在横波速度为0时的某种特例。从TTI介质波场传播稳定性的角度对这两类方程进行对比分析可知，引入横波分量的TTI介质纵横 波耦合方程适用于TTI介质。

图2 楔形2DTTI介质模型波场快照

1．2 2DTTI介质时间域分裂式完全匹配层（SPML）波动方程推导

基于FLETCHER等［7］的二阶2DTTI介质纵横波耦合波动方程（（4）式）来推导2DTTI介质时间域SPML波动方程。TTI介质波动方程的特点是含有比较复杂的交叉导数项，如何有效处理TTI介质方程中的交叉导数项是PML吸收边界条件研究的难点。本文的思路是针对TTI介质波动方程的特点对二阶方程中的交叉导数项进行分裂，得到其一阶方程的形式，进而推导得到TTI介质一阶SPML波动方程。

引入4个辅助波场项ψx，ψz，Ωx，Ωz，从FLETCHER等［7］的二阶2DTTI介质波动方程出发，推导得到一阶2DTTI介质波动方程的形式，对方程进行傅里叶变换并引入X和Z方向的频率域PML拉伸函数，推导得到2DTTI介质频率域SPML波动方程，将此方程反傅里叶变换到时间域，即可得到2DTTI介质时间域SPML波动方程：

其中，辅助变量形式为：

其中，引入了PML衰减因子dx，dz。本文采用的PML衰减因子表达式为［21］：

式中：Lpml为PML边界层的厚度；l为计算点距PML边界的距离；Rcoeff为理论反射系数，本文取Rcoeff＝0．000 1。

一系列公式推导研究可以发现，所有2DTTI介质的SPML方程都具有相同的形式，差分离散形式也相同，只是PML辅助变量表达形式不一致，其具体形式根据不同的TTI方程形式而定。本文只讨论二维TTI介质情形，但是这种方法也可以扩展到三维TTI介质（详细推导见附录A），在此不再展开讨论。

1．3 2DTTI介质SPML波动方程数值实现

采用高阶交错网格有限差分法来实现1．2节推导的2DTTI介质SPML波动方程。对（8）式进行高阶交错网格有限差分离散，具体实现公式如下：

从二维SPML数值实现示意图（图3）可以看出，二维PML区域分为4个边和4个角共8块区域，具体实现时，我们需要分别考虑各PML区域波场的衰减。理论上，无吸收边界条件具有最强的边界反射，而PML吸收层数越多，边界反射吸收效果越好。但是增加的PML吸收层数也带来了更多的计算量，从而在一定程度上降低了计算效率，因此在实际应用中需要在PML吸收层数与计算效率之间寻求平衡。

图3 二维SPML数值实现示意图解

2 数值计算实例

2．1 简单均匀2DTTI介质模型

为了验证本文提出的TTI介质SPML吸收边界条件的有效性，首先采用简单均匀2DTTI介质模型进行SPML点源响应测试。模型横向网格数和纵向网格数都为256，横向网格间距和纵向网格间距都为10m，速度为3 000m／s。TTI介质的各向异性参数ε＝0．3，δ＝0．1，对称轴倾角为45°。

均匀TTI介质模型的单道记录能很好地测试不同PML边界层条件下的边界反射吸收效果。数值模拟时，雷克震源子波主频取25Hz，震源位置设置在模型的中心，单检波点取在震源位置左侧50个网格点处，传播时间为1．5s，时间采样间隔为0．001 5s，采用12阶高阶交错网格有限差分格式进行模拟。采用SPML吸收边界条件，PML边界吸收层数分别设为10层、20层和30层。取3种情形的单道记录进行对比（图4）。由图4可见，PML吸收层数为10层时边界反射吸收效果不理想；而PML吸收层数为20层时已经取得了比较好的边界反射吸收效果（图4a），但从局部放大图可以看出，仍然存在着微弱的边界反射；而PML吸收层数为30层时边界反射导致的波场误差降到仅为10－5，此时边界反射基本被消除（图4b）。从PML吸收层数为20层时SPML波动方程在t＝0．72s和t＝0．90s的波场快照（图5）也可以看到微弱的边界反射。因此本例选定PML边界吸收层数为30层。图6a到图6f分别给出了SPML波动方程在PML吸收层数为30层时各个时刻的波场快照。由图6可见，SPML对边界反射吸收效果明显。

2．2 复杂BP2007 2DTTI介质海洋标准模型

以复杂BP2007 2DTTI介质海洋标准模型为例，对比TTI介质SPML吸收边界条件与优化海绵吸收边界条件对边界反射的吸收效果［18］。本文数值模拟时采用截取的部分BP2007 2DTTI介质海洋标准模型（图7），该模型主要模拟了近海岸的地质构造，特点是左部有一个被TTI各向异性地层包围的高速各向同性盐丘，模型参数包括纵波速度vPZ，Thomsen纵波各向异性参数ε，Thomsen变异系数δ，对称轴角度θ，模型横向网格数nx＝601，纵向网格数nz＝361，横向网格间距和纵向网格间距都为6．25m，其中海水层为各向同性介质。数值模拟时，雷克震源子波主频取25Hz，采用SPML吸收边界条件，PML边界设为30层，传播时间为2s，时间采样间隔为0．000 4s，采用12阶高阶交错网格有限差分格式进行模拟。因为震源置于各向同性的海水层中，TTI数值模拟时不会出现影响qP波场传播的伪横波（SV波）噪声，此种情况下不需要采取在震源处添加各向同性薄层消除伪SV波噪声的策略［5，29］。从BP2007 2DTTI介质海洋标准模型的正演单炮记录（图8）来看，SPML消除边界反射效果良好（图8a），而优化海绵吸收边界条件仍然有着比较强的边界反射（图8b中红色箭头标示），SPML吸收边界条件明显优于优化海绵吸收边界条件的边界反射吸收效果。

图4 均匀2DTTI介质模型不同PML吸收层数单道记录

图5 均匀2DTTI介质模型采用2DTTI介质SPML波动方程在PML吸收层数为20层时不同时刻的正演波场快照

图6 均匀2DTTI介质模型采用2DTTI介质SPML波动方程在PML吸收层数为30层时不同时刻的正演波场快照

图7 截取的部分BP2007 2DTTI介质海洋标准模型各向异性参数变化情况

图8 BP2007 2DTTI介质海洋标准模型采用不同边界条件正演的单炮记录

3 结束语

本文对常见的几种TTI介质波动方程进行了归纳，并从波场传播稳定性的角度进行分析，结果表明引入横波分量的TTI介质纵横波耦合波动方程适用于TTI介质。基于TTI介质纵横波耦合二阶波动方程，推导得到一阶方程形式的TTI介质SPML波动方程，研究发现，所有2DTTI介质的SPML方程都具有相同的形式，差分离散形式也相同，只是PML辅助变量表达形式不一致，其根据不同的TTI方程形式而定。数值模拟结果表明，本文研究的SPML吸收边界条件能达到很好的人工边界反射吸收效果。本文方法可以进一步推广到三维TTI介质的高精度模拟中。至于2DVTI或3DVTI介质情形，由于对称轴角度为0，波场传播较稳定，此时适合采用噪声相对较少的VTI介质声波近似方程，因为TTI介质纵横波耦合方程虽然由于引入了横波分量解决了地震波在各向异性介质中传播的不稳定性问题，但是也带来了更多的横波噪声。VTI介质波动方程的特点是不含比较复杂的交叉导数项，可以采用计算效率更高的非SPML吸收边界条件来实现。

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附录A 3DTTI介质时间域SPML波动方程

3DTTI介质时间域SPML波动方程的推导基于FLETCHER等［7］的二阶3DTTI介质纵横波耦合波动方程（（4）式）。与二维TTI介质相比，三维TTI介质时间域SPML波动方程的推导首先需要从FLETCHER等［7］的二阶3DTTI介质波动方程出发，推导得到一阶3DTTI介质波动方程的形式，然后对方程进行傅里叶变换并引入x，y和z 3个方向的频率域PML拉伸函数，将推导得到的3DTTI介质频率域SPML波动方程反傅里叶变换，即可得到3DTTI介质时间域SPML波动方程：

推导的辅助变量形式为：

PML波动方程推导过程中引入的频率域PML拉伸函数ξx，ξy，ξz表示为：

引入的PML衰减因子dx，dy，dz表达式为：

式中：Lpml是PML边界层的厚度；l是计算点距PML边界的距离；Rcoeff是理论反射系数值，取0．000 1。

对一系列公式推导研究可以发现，所有3DTTI介质方程的SPML方程都具有相同的形式，差分离散形式也相同，只是PML辅助变量表达形式不一致，其具体形式根据不同的TTI方程形式而定。

（编辑：陈 杰）

The research on split PML absorbing boundary conditions of acoustic equation for TTI media

ZHANG Heng1，LIU Hong2，LI Bo3，DING Renwei4，LI Liqing1，LI Fuyuan1

（1．MLR Key Laboratory of Marine Mineral Resources，Guangzhou Marine Geological Survey，China Geological Survey，Guangzhou510075，China；2．Key Laboratory of Petroleum Resources Research，Institute of Geology and Geophysics，Chinese Academy of Sciences，Beijing100029，China；3．Sinopec Geophysical Research Institute，Nanjing211103，China；4．College of Earth Science and Engineering，Shandong University of Science and Technology，Qingdao 266590，China）

We study split perfectly matched layer（SPML）absorbing boundary conditions for TTI media based on the characteristics of TTI media acoustic wave equation．We firstly summarize several common TTI media acoustic wave equations and compare these wave equations in detail from the perspective of wavefield propagation stability for TTI media．We conclude that the TTI acoustic approximation equation introduced SV－wave component is applicable for TTI media．Then we derive the TTI media first－order acoustic wave equation based on the SPML boundary condition from the TTI P－wave and SV－wave coupled second－order wave equation．Afterwards we give the concrete implementation method for high－order staggered－grid finite－difference algorithm．The numerical modeling examples show that the SPML boundary condition can absorb the artificial boundary reflection very well．The boundary reflection absorbing effect of the proposed SPML algorithm is much better compared with the optimal sponge boundary condition．

P631

A

1000－1441（2017）03－0349－13

10．3969／j．issn．1000－1441．2017．03．005

张衡，刘洪，李博，等．TTI介质声波方程分裂式PML吸收边界条件研究［J］．石油物探，2017，56（3）：349－361

ZHANG Heng，LIU Hong，LI Bo，et al．The research on split PML absorbing boundary conditions of acoustic equation for TTI media［J］．Geophysical Prospecting for Petroleum，2017，56（3）：349－361

2016－02－14；改回日期：2016－04－29。

张衡（1987—），男，博士，工程师，主要从事复杂各向异性介质地震波场正演数值模拟和全波形反演研究工作。

国家自然科学基金项目（41604110）、国土资源部海底矿产资源重点实验室开放基金项目（KLMMR－2015－A－14）、国家高技术研究发展计划（863计划）项目（2013AA092501）和国家科技重大专项（2011ZX05003－003）联合资助。

This research is financially supported by the National Natural Science Foundation of China（Grant No．41604110），the Open Fund of MLR Key Laboratory of Marine Mineral Resources（Grant No．KLMMR－2015－A－14），the National High－tech R ＆D Program of China（863Program）（Grant No．2013AA092501）and the National Science and Technology Major Project of China（Grant No．2011ZX05003－003）．