初中数学的分类讨论思想浅议

吉林省四平市第三中学 都洪艳

作为一名优秀的数学教师，不仅要教好课本的知识，还要不断的像学生传授解决数学问题的重要思想，在教学中渗透数学思想，可以克服就题论题，死套模式，它是我们在解题时，加强思路分析，寻求已知和未知的联系，提高分析问题的能力，从而使思维品质和能力有所提高。让学生学会各种数学思想可以使其生受用一生。初中数学的基本思想有：分类思想、数形结合思想、类比思想、化归思想、函数思想等等。分类讨论是中考试题中作为考查学生分析问题和解决问题能力的常见题型。下面我们结合例题介绍一下分类讨论思想。

一、分类的实质

分类是按照数学对象的相同点和不同点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的.正确的分类必须是周全的，既不重复，也不遗漏.

二、分类的原则

（1）分类中的每一部分是相互独立的；

（2）一次分类按一个标准；

（3）分类讨论应逐级有序进行；

（4）以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型。

三、分类在初中数学学习中的具体体现

（一）分类讨论思想在等腰三角形中的应用

1.在等腰三角形中求边

等腰三角形中，对给出的边可能是腰，也可能是底边，所以我们要进行分类讨论。

①已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于__16或17_______。

②若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。

2.在等腰三角形中求角

等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，所以必须分情况讨论。

①已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（D）

A. 30° B. 75°

C. 105° D. 30°或75°

②△ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在的直线相交所得的锐角为40度，则底角B的度数为65°或25°

③等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的度数。

（二）分类讨论思想在圆中的应用

1.圆周角的顶点位置不确定需分类讨论

在半径为5cm的⊙O中，弦AB=5cm，点C是⊙O上任意一点（不与A、B重合）。则∠ACB=30°或150°。

解析：一般地，弦的两个端点分圆所成的两条弧一条为优弧，一条为劣弧。当点C在优弧AB上时，∠ACB=30°；当点C在劣弧AB上时，∠ACB=150°.

2.两平行弦相对于圆心的位置不确定需分类讨论

已知⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm,弦CD=6cm,且AB∥CD，则AB和CD之间的距离为1cm或7cm 。

解析：分弦AB、CD在圆心O的同侧和异侧两种情况计算。

3.两圆相切，内切、外切不确定需分类讨论

若两圆相切，圆心距为7，其中一圆的半径为4，则另一圆的半径为3或11.

尝试7、已知⊙O的半径为2，点P是⊙O外一点，OP的长为3，那么以点P为圆心，且与⊙O相切的圆的半径是________。

4.相交两圆的圆心与公共弦的位置不确定需分类讨论

已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，弦AB为6，两圆的半径分别为，5，则圆心距O1O2=1或7 。

解析：分两圆心在公共弦的同侧和异侧两种情况计算。

（三）分类讨论思想在相似三角形中的应用

如图，在△ABC中，AB=6,AC=4,P是AC的中点，过P点的直线交AB于Q，若△APQ和△ABC相似，求AQ的长。

（2）正方形ABCD的边长是2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端

在CD、AD上滑动.当DM=______时，△ABE与△DMN相似。

（四）分类讨论思想在函数中的应用

已知：一次函数y= kx+b的图像过点A(4，0),且与x轴y轴构成的三角形的面积为6，求一次函数的解析式。

分析：从图1可以看出，过A点做一次函数的图象，和y轴的交点可能在y轴正半轴上，也可能在y轴正负轴上，因此应分两种情况进行研究。

解：∵ A点的坐标为(4，0)，

设函数图象与y轴交与B(0,m)点.有题意得

∴m=3或 m=-3

∴ 一次函数的图象与y轴分别交与（0,3），（0，-3）。

将点(4，0)及点（0,3）或将点(4，0)及点（0,-3）的坐标分别代入到y= kx+b中，得

总之，数学中的分类讨论思想是一种比较重要的数学思想，它无处不在，在教学中，我们要多研究、多实践、多探索，让学生更好的掌握好初中数学中的分类讨论思想。通过加强数学分类讨论思想的训练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。在教学中，我们要多研究、多实践、多探索，让学生更好的掌握好初中数学中的分类讨论思想。