应用均值换元法解高考最值问题

江苏省泰州市姜堰区蒋垛中学 (225503) 徐爱芳

应用均值换元法解高考最值问题

江苏省泰州市姜堰区蒋垛中学 (225503)
徐爱芳

1.应用均值换元法解最大值问题

评注:此题从表面上看似乎与均值换元无关，使人陷入“山穷水尽疑无路”之境，但仔细观察题目条件的特点，充分展开联想，经过变形化简，发挥思维的创造性，利用不等式简捷明快地求得了最大值，可谓解法灵活巧妙，思路匠心独具，不得不令人拍案叫绝.

2.应用均值换元法解最小值问题

评注:本题由a+b=2，直接联想到平均值换元，思路明析，目标明确，方法简捷，别具风味.

3.应用均值换元法解最大值和最小值问题

评注:本题如用常规方法求最大值，可将原式两边平方后，通过化简变形去寻找解题途径，然而应用均值换元解，不仅方法新颖，而且简捷别有风味.本题解法的巧妙之处在于通过均值换元后，大大减少了计算量，降低了解题的难度，充分显示了均值代换的优越性.

例4 (2010年浙江大学自主招生考试题)设x,y≥0,2x+y=6,求z=4x2+3xy+y2-6x-3y的最大值和最小值.

评注:本题用一般的思维方式考虑，很难找到解题的方法或是过程相当复杂，而通过2x+y=6=3+3,联想我们设2x=3-d,y=3+d,从而沟通了题设与结论的关系，使问题轻松得到解决，此法不仅别具一格，方法新颖，而且解题过程充分体现了均值换元思想的应用价值，更加显示出均值代换在解题中的重要作用.

例5 (江苏省苏北四市2015年春高三一模试题)设x、y、z为非负数，且x+y+z=1，求xy+yz+zx-2xyz的最大值和最小值.

纵观以上五例可以看出应用均值换元法求最大(小)值，其关键是要从问题的背景出发，根据题设及所求题目的结构特征经过合理的推理，探究出问题中隐藏的均值关系，列出符合题意的关系式，以达到解题的目的.

[1]赵春，孙健.应用均值代换法智解竞赛最值问题.中学数学杂志(高中版)2016,1.

[2]于志洪.应用三角换元法解竞赛最值问题.数学通讯(上半月).2015,4.