小学数学中的符号化思想

张生兰

2011年版义务教育数学课程标准提出的核心概念之二是符号意识，符号对于数学来说是特有的，它既是数学的语言，也是数学的工具，更是数学的方法。符号意识是学习者在感知、认识、运用数学符号方面所做出的一种主动性反应，符号意识渗透着符号化的数学思想方法。本文对小学阶段的符号化思想做一些介绍。

一、符号化思想的概念

数学是研究数量关系和空间形式的科学，数学语言是一种科学的语言，它使人表达问题时条理清楚、准确、简洁、结构分明。数学符号是数学的语言，数学世界是一个符号化的世界，数学作为人们进行表示、计算、推理和解决问题的工具，数学符号起到了非常重要的作用；因为数学有了符号，才使得数学具有简明、抽象、清晰、准确等特点，同时也促进了数学的普及和发展；国际通用的数学符号的使用，使数学成为国际化的语言。符号化思想是一般化的思想方法，具有普遍的意义。

二、如何理解符号化思想

数学课程标准比较重视培养学生的符號意识，并提出了几点要求。那么，在小学阶段，如何理解这一重要思想呢？下面结合案例做简要解析。

第一，能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示。这是一个从具体到抽象、从特殊到一般的探索和归纳的过程。如通过几组具体的两个数相加，交换加数的位置和不变，归纳出加法交换律，并用符号表示：a+b=b+a。再如在长方形上拼摆单位面积的小正方形，探索并归纳出长方形的面积公式，并用符号表示：S=ab。这是一个符号化的过程，同时也是一个模型化的过程。

第二，理解符号所代表的数量关系和变化规律。这是一个从一般到特殊、从理论到实践的过程。包括用关系式、表格和图象等表示情境中数量间的关系。如假设一个正方形的边长是a，那么4a就表示该正方形的周长，a2表示该正方形的面积。这同样是一个符号化的过程，同时也是一个解释和应用模型的过程。

第三，会进行符号间的转换。数量间的关系一旦确定，便可以用数学符号表示出来，但数学符号不是唯一的，可以丰富多彩。如一辆汽车的行驶时速为定值80千米，那么该辆汽车行驶的路程和时间成正比，它们之间的数量关系既可以用表格的形式表示，也可以用公式s=80t表示，还可以用图象表示。即这些符号是可以相互转换的。

第四，能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题。这是指完成符号化后的下一步工作，就是进行数学的运算和推理。能够进行正确的运算和推理是非常重要的数学基本功，也是非常重要的数学能力。

三、符号化思想的具体应用

数学的发展虽然经历了几千年，但是数学符号的规范和统一却经历了比较慢长的过程。如我们现在通用的算术中的十进制计数符号数字0～9于公元8世纪在印度产生，经过了几百年才在全世界通用，从通用至今也不过几百年。代数在早期主要是以文字为主的演算，直到16、17世纪韦达、笛卡尔和莱布尼兹等数学家逐步引进和完善了代数的符号体系。

1、数与代数方面

阿拉伯数字：0～9；百分号%；千分号‰；用数轴表示数。

数的运算符号： +、-、×、÷、（ ） 、﹝﹞、﹛﹜、2（平方）、3（立方）。

数的大小关系：=、≈、>、<、≥、≤、≠。

运算定律：加法交换律a+b=b+a；加法结合律a+b+c=a+（b+c）；乘法交换律ab=ba；

乘法结合律 （ab）c=a（bc）；乘法分配律a（b+c）=ab+ac。

方程：ax+b=c。

数量关系：时间、速度和路程s=vt；数量、单价和总价a=np；正比例关系y/x=k；

反比例关系xy=k。

用表格表示数量间的关系；用图象表示数量间的关系。

2、空间与图形方面

用字母表示计量单位：长度单位：km、m、dm、cm、mm；面积单位：km2、m2、dm2、cm2、mm2；质量单位：t、kg、g。

用符号表示图形、用字母表示点：三角形ABC，线段AB，直线CD，直线 L。

用符号表示角：∠1、∠2、∠3、∠4、∠ABC、∠A。

两线段平行：AB∥CD；

两线段垂直：AB⊥CD。

用字母表示公式：三角形面积S=1/2ab；平行四边形面积S=ah；梯形面积S=1/2（a+b）h；圆周长C=2πr；圆面积S=πr2；长方体体积v=abc；正方体体积v=a^3；圆柱体积v=sh；圆锥体积v=1/3sh

3、统计与概率方面

统计图和统计表：用统计图表描述和分析各种信息。

可能性：用分数表示可能性的大小。

四、符号化思想的教学。

符号化思想作为数学最基本的思想之一，数学课程标准把培养学生的符号意识作为必学的内容，并提出了具体要求，足以证明它的重要性在日常教学中要创设合适的情境，引导学生在探索中归纳和理解数学模型，并进行解释和应用。学生只有理解和掌握了数学符号的内涵和思想，才有可能利用它们进行正确的运算、推理和解决问题。

数学符号是人们在研究现实世界的数量关系和空间形式的过程中产生的，它来源于生活，但并不是生活中真实的物质存在，而是一种抽象概括。一个数学符号一旦产生并被广泛应用，它就具有明确的含义，就能够进行精确的数学运算和推理证明，因而它具有精确性。数学能够帮助人们完成大量的运算和推理证明，但如果没有简捷的思想和符号的参与，它的工作量及难度也是很大的，让人望而生畏。一旦简捷的符号参与了运算和推理证明，数学的简捷性就体现出来了。如欧洲人12世纪以前基本上用罗马数字进行计数和运算，由于这种计数法不是十进制的，大数的四则运算非常复杂，严重阻碍了数学的发展和普及。直到12世纪印度数字及十进制计数法传入欧洲，才使得算术有了较快发展和普及。数学符号的发展也经历了从各自独立到逐步规范、统一和国际化的过程，最明显的就是早期的数字符号从各自独立的埃及数字、巴比伦数字、中国数字、印度数字和罗马数字到统一的阿拉伯数字。数学符号经历了从发明到应用再到统一的逐步完善的过程，并促进了数学的发展；反之，数学的发展也促进了符号的发展。因而，数学和符号是相互促进发展的，而且这种发展可能是一个慢长的过程。因而，符号意识的培养也应贯穿于数学学习的整个过程中，并需要一定的训练才能达到比较熟练的程度。

参考文献：

[1]《2011版小学课程标准解读》

[2]人教版一至六年级《小学数学教师参考用书》endprint