初相“φ”求解探秘

于昊平

对于正弦型函数（或余弦型函数而言，“φ”通常称为初相，反应了图象在坐标系中的位置，是研究三角函数图象与性质的重要因素，以下举例探究：

题型一：三角函数最值与 关系

例1. 将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，有，则φ（ ）

【解析】 ，由可知分别取到最大最小值，不妨設，所以，由

可知。

【点评】解决本题关键是“对满足的，有”进行转化，通过对三角函数图象和性质可知，分别取到最大最小值，集合取得最值条件

可得。

题型二：φ与三角函数单调性的关系

例2. 若函数y=cos2x与函数在上的单调性相同，则φ的一个值为（ ）

【解析】先求出y=cos2x的单调性，0+2kπ<2x<π

+2kπ，解得单调递减区间为：，即y=cos2x在上单调递减。所以在单调减，

所以，

有 ，可知C符合题意

【点评】“φ”的变化与图象的平移有密切关系，通常设，其中，则函数变为，在求三角函数单调性时，先利用正弦函数性质与图像写出t所满足的条件，然后将t还原为再解出x的值（或范围）即可。

题型三：利用对称性探求φ

例3.已知函数的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图象的一条对称轴，则下列各式中符合条件的解析式为（ ）

【解析】由函数的最大值为4，最小值

为0，可得解得，由函数的最小正周期为，可知所以由直线是其图象的一条对称轴，

可知，从而，故满足题意的是，选D。

【评注】由于三角函数是由正弦函数y=sinx复合而成的，所以令就能得到

的对称轴方程。通过类比可以得到三角函数的对称轴方程。

从上述题中不难发现，φ与三角函数图形在坐标系中的位置相关，因此可以通过函数图象的特殊点、对称轴以及单调区间等方面来确定。endprint