一道课后习题的解答与变式探究

☉广东惠州市惠阳区崇雅实验学校 李志平

一道课后习题的解答与变式探究

☉广东惠州市惠阳区崇雅实验学校 李志平

新人教版数学七年级（上）P130有这样一道习题：两条直线相交，有一个交点，三条直线相交，最多有多少个交点？四条直线呢？你能发现什么规律吗？

本题是习题4.2的一道拓广探索题，也是一道探索规律型问题，这种题型对于初中生来说属于难度较大的题目，能较好地考查学生获得数学知识的思维能力和应用数学知识的技能水平，特别注重对学生探索性思维能力和创新性思维能力的考查.以下笔者从题目的解答和变式两方面做些探究，与广大同仁交流.

一、解法探究

解法1：设平面内有n条直线相交，如图1，当n=2时，有1个交点；当n=3时，最多有1+2=3（个）交点；当n=4时，最多有1+2+3=6（个）交点；当n=5时，最多有1+2+3+4= 10（个）交点……当取n时，最多有1+2+3+…+（n-1）=（个）交点.

图1

点评：由解法1得到的结论发现，平面内n（n>1）条直线相交，最多有（

个）交点.从而可猜想交点数可看成直线条数n的二次函数，由此得到解法2.

解法2：建立一个平面直角坐标系：把交点个数y看成直线条数n的函数，通过描点法画出图像，猜想y是关于n的二次函数.设y=an2+bn+c（a≠0），从解法1中抽取三组数据代入，解得，由此得到.再代入其余的一些数据检验，均成立.

解法3：设平面内有n条直线相交，由题意可知：当这n条直线两两相交且任意3条直线不过同一个交点时，交点最多，因为每条直线都与其余的（n-1）条直线相交，即有（n-1）个交点，所以n条直线共有n（n-1）个交点，由于任一个交点都计算了两次（如直线a与直线b相交，直线b与直线a相交，它们所产生的交点是同一个交点），所以平面内n（n>1）条直线相交，最多有个交点.分别将n取不同的值即可得到相应的答案.

点评：解法1与解法2都属于归纳性猜想，因为在初中阶段还没有学数学归纳法，故无法在理论上严密地加以论证.而解法3从根本上解决了这个问题，这个方法运用了组合数学的分析方法（其实质是组合数学中的C2n模型）.笔者在教学中发现这种方法学生还是能够很好地掌握的，不失为解决这类问题的好方法.

二、变式探究

本着“解一道题，会一类题”的教学思想，教师应引导以一个题目为起点，运用联想，展开想象，发散思维，由一题而涉及一类题.这样既能收到由例及类、触类旁通的效果，而且有利于发展学生思维的灵活性、创造性，培养学生通过独立探索解决问题的能力.

下面笔者就试着对这道题作如下的变式探究.

变式1：数线段问题.

例1 如图2，同一条直线上有n个不同的点，则这n个不同的点能确定几条线段？

图2

解：因为每个点都可以和其他（n-1）个点各构成一条线段，即共确定（n-1）条线段，所以n个点共能确定n（n-1）条线段.由于每条线段都重复计算了两次（比如，线段AB，在计算过A点和过B点的线段时各计算了一次），所以线段的总条数是

变式2：数角问题.

例2 数一数图3中角的个数，图①中共有______个角，图②中共有_____个角，图③中共有______个角，图④中共有______角.

图3

解：如图3④，这n条射线，每条射线都可以和其他（n-1）条射线构成一个角，即可确定（n-1）个角，所以n条射线共可确定n（n-1）个角.由于每个角都重复计算了两次，所以一共可构成个角.当n=3时，当n=4时，，当n=5时，

变式3：凸多边形对角线问题.

例3 如图4，正四边形有2条对角线，正五边形有5条对角线，正六边形有9条对角线，正n边形有多少条对角线？

图4

解：因为正n边形有n个顶点，从每个顶点出发，都可以与与其不相邻的（n-3）个顶点连成一条对角线，即可连成（n-3）条对角线.所以n个顶点共可连成n（n-3）条对角线.由于每条对角线都重复计算了两次，所以正n边形共有条对角线.

变式4：握手问题.

例4 有28位宾客参加一场宴会，任两人之间都要握一次手，问：参加宴会的宾客共握了多少次手？

解：每个人都与其他27位宾客各握一次手，即握手27次，共28位宾客，共握手28×27次.由于每两人之间握手重复计算了两次，所以28位宾客共握手378（次）.

点评：此题一般化为：n（n>1）位宾客参加宴会，任两人之间都要握一次手，问：参加宴会的宾客共握了多少次手？解法完全类似.

变式5：单循环赛制问题.

例5 世界杯共有32支球队入围参加，分成8个小组，每组内由单循环赛规则根据得分高低各产生2支晋级球队，之后按淘汰赛规则分别产生8强、4强、冠军、亚军、季军.问：整个世界杯赛程的总场次是多少？

解：在小组赛中，每个小组共有32÷8=4（支）球队.每个球队都与其余3支球队分别打3场比赛，共打4×3= 12（场）比赛，由于每场比赛重复计算了两次（如A队和B队，B队和A队，是同一场比赛，但计算了两次），所以每个小组内共比赛了（场），8个小组共比了8×6= 48（场），之后晋级的16支球队通过8（16÷2=8）场淘汰赛产生8强，再通过4（8÷2=4）场淘汰赛产生4强，再通过2场淘汰赛产生前2名和后2名，最后通过2场淘汰赛产生冠、亚、季军.

综上可知，整个世界杯赛程的总场次为：48+8+4+2+ 2=64.

点评：此题解题的关键是算出单循环赛的总场次，而计算单循环赛的总场次问题本质上和前面的课本习题是一致的.计算公式为：（n>1，n为比赛球队数）.

例6 （2016·台州）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场（单循环赛制），则下列方程中符合题意的是（ ）.

点评：此题是由实际问题抽象出一元二次方程，在历年中考中较常见，其解决的办法与课本原习题类似.

三、小结

从这道课后习题的解答到后面的一些例题的演变，我们不难发现，虽然表面看起来这些问题的背景不同，但其本质和解决的思路是一致的.作为教师，我们应充分挖掘每一道习题，通过有效的一题多解和一题多变的教学，培养学生探索性和创新性的思维能力，充分激发学生学习数学的兴趣.