突出核心内容，注重实质联系——青岛版《义务教育教材·数学》（七～九）编写的原则之三

☉山东沂南县教育局 李树臣

突出核心内容，注重实质联系
——青岛版《义务教育教材·数学》（七～九）编写的原则之三

☉山东沂南县教育局 李树臣

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）在“教材编写建议”中提出了六条具体的“建议”，其中之一是“整体性”建议.这些“建议”是教材编写必须遵循的原则.针对这一原则，《课标（2011年版）》强调指出“教材编写应当体现整体性，注重突出核心内容，注重内容之间的相互联系，注重体现学生学习的整体性”.

我们在编写青岛版数学教材时，是从以下三大方面落实“整体性”原则的.

一、整体体现课程内容的核心

《课标（2011年版）》在“课程设计思路”中指出：“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想.为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识.”这十大核心词是构成课程内容的主线，教材的编写应以这些核心内容为主线进行设计和编排.

“推理能力”是《课标（2011年版）》）提出的十个核心词之一.推理能力的培养和发展，历来都是课程改革最为关注的焦点之一，当然也是编写教材的重点和难点.我们在编写青岛版教材时，按照《课标（2011年版）》提出的具体要求，即无论是“数与代数”“图形与几何”还是“统计与概率”的内容编排，都尽可能地为学生提供观察、操作、归纳、类比、猜想、证明的机会，发展学生的推理能力.自始至终，努力把培养合情推理与逻辑推理作为贯穿教材的一条主线，用以连接各册、各章、各节的教材.

例如，在“数与代数”部分，有关运算法则、性质的建立，注意采用合情推理（如归纳、图示的方法）进行探索，对于运用已学知识能够采用逻辑推理的方法加以证明的（如整数指数幂的运算性质等）则给出一般性的推导过程.在具体计算过程中，无论是有理数和实数的运算、代数式的化简和变形，还是方程和方程组的解法，都把明确算理作为数学活动和学生练习过程中的一个重要环节，要求学生必须按照运算的定义、法则、性质和顺序（这事实上是逻辑推理的法则）进行计算.

案例1：平面几何内容中推理能力的设计编排分析.

平面几何内容历来被认为是培养学生推理能力的重要载体，我们在设计教材中“图形与几何”部分的内容时，注意把合情推理和逻辑推理两种方式相互交融，以培养学生的推理能力作为贯穿这部分内容的主线之一，遵循“合情推理—演绎推理—合情推理与演绎推理相结合”的原则，采取“由浅入深”“循序渐进”的方式展开，从发展学生推理能力的角度看，这部分内容可分为以下三个阶段：

1.以发展合情推理为主，逐步培养学生的说理能力.

这一阶段主要包括6章内容：七年级上册第1章“基本的几何图形”，七年级下册第8章“角”、第9章“平行线”、第13章“平面图形的认识”，八年级上册第1章“全等三角形”、第2章“图形的轴对称”.

这些内容都具有一个基本特点——动手实验，表现为研究图形的方法是以直观观察、测量、展开、折叠、画图、度量、计算为主.

这样设计的主要意图：一是培养学生的各种数学能力；二是为学习论证推理打好基础.

2.以演绎推理为主，培养学生的推理论证能力.

这一阶段主要指八年级上册第5章“几何证明初步”.教材首先引入定义、命题等概念，其次通过多个实例让学生明确意识到，以前通过探究得到的一些结论只有通过严格的数学证明才能确认其“真实性”，然后引导学生从已经探究到的结论中选取8个作为“基本事实”（《课标（2011年版）》共给出9个基本事实，其中第9个安排在九年级上册），利用它们对某些结论进行证明.

这样设计的主要意图：一是使学生掌握基本的证明方法，体会通过合情推理探索的某些结果，会用演绎推理加以证明，从而完成获得数学结论的过程，二是逐步积累探寻分析证明思路的经验.

3.合情推理和论证推理相辅相成，提升学生的推理能力.

在八年级上册第5章“几何证明初步”之前的各章，以合情推理为主，逐步渗透逻辑推理（说理），同时为以后正式学习几何证明作好知识和思想方法的铺垫.该章之后，则以合情推理和逻辑推理相辅相成的方式，利用合情推理探索命题，再通过逻辑推理证明结论，使学生逐步学会用数学的思维方式发现问题、提出问题、分析问题和解决问题，以不断提高学生的数学探究能力和推理论证能力.

这一阶段大致包括4章内容：八年级下册第6章“平行四边形”、第11章“图形的平移和旋转”，九年级上册第1章“图形的相似”、第3章“对圆的进一步认识”.这个阶段综合运用合情推理和演绎推理研究图形，采用“边探索，边证明”的方式学习了大量的性质定理和判定定理.

主要设计意图：引导学生用合情推理探索思路，发现结论，用演绎推理证明结论.让学生搞清定理的来源，分清它们的条件和结论，弄清抽象、概括或证明的过程.体现《课标（2011年版）》提出的“体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理能力与演绎推理能力”的要求.

二、注重数学实质，突出内容之间的相互关联

《课标（2011年版）》指出：“教材的整体设计要呈现不同数学知识之间的关联.一些数学知识之间存在逻辑顺序，教材编写应有利于学生感悟这种顺序.一些知识之间存在着实质性的联系，这种联系体现在相同的内容领域，也体现在不同的内容领域.”

为了落实上述要求，让学生“感悟”到这种顺序，我们采取了两个措施：

1.在同一内容领域，按照知识出现的逻辑顺序设计编排.

例如，教材七（上）第1章“基本的几何图形”是本套教材的起始章.该章所选择的内容重视与小学已学过的“图形与几何”内容的衔接，让学生认识体、面、线、点，随后安排线段、射线和直线及线段的度量和比较两节内容.这种设计不仅让学生从三维到二维再到一维认识一些基本的几何图形，感受抽象是数学研究的重要思想，还为学生在后继的两章中学习数轴、相反数、绝对值及有理数的加法、乘法法则的建立等内容奠定必要的基础.

再如，在整套教材中，关于“数与代数”部分的呈现顺序是：

有理数—代数式（函数的初步认识）—整式的加减—一元一次方程—一次方程组—整式的乘除—乘法公式—因式分解—分式—实数—不等式—二次根式—一次函数—一元二次方程—函数（二次函数、反比例函数）.

关于“图形与几何”部分的呈现顺序是：

空间图形—平面图形—线段、射线、直线—角—平行线—平面图形的认识—位置与坐标—三角形—几何证明—四边形—图形平移和旋转—相似图形—圆—空间图形（投影与视图）.

2.在不同的领域中相关联的内容，要注重体现数学的实质性关联.

本套教材采用“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”混编的形式，这就为我们揭示“不同领域知识之间存在的实质性联系”提供了较大的空间，便于突出知识之间的本质联系，还原数学的本来面貌，为学生获得一个优化的知识结构提供了方便.

案例2：设计“实数”一章的根据分析.

从《课标（2011年版）》可知：“勾股定理”和“数的开方”分别是“图形与几何”和“数与代数”两个方面的核心内容，它们分别代表着“形”和“数”，从科学发展史来看，二者有着密切的关联，是并存发展的.如等无理数是伴随着勾股定理的发现而诞生的，我们说无理数是保证勾股定理对于边长是任意正数的直角三角形都成立的必要条件，而勾股定理使得平方根有了明确、直观的几何解释.

然而在传统的教材及与《课标（2011年版）》相配的一些教材中，二者却被人为地割裂开来：有的将勾股定理放到几何中，将实数放到代数中，有的将二者各自独立成章，这样的设计安排既切断了它们之间深刻的内在联系（不符合数学事实，不能很好地体现数学的实质），又造成了数学上的不衔接（造成教学不好处理），势必导致学生学到的只能是片面的、零散的、孤立的知识，难以从本质上把握数学知识，不能形成优化的数学认知结构.

为避免以上问题，我们在编写青岛版教材时，将勾股定理和数的开方的有关内容进行了大胆整合，作为一章，取名为“实数”，放在八年级下册.主要内容包括两个方面：一是在有理数的基础上，通过研究平方、立方运算的逆运算及由已知一边的平方求这边边长的需要，引入新的运算——开平方和开立方运算，以及开方运算产生的新数——无理数，将数的范围扩充到实数；二是在给定图形的基础上，通过探索得到勾股定理及判定一个三角形是直角三角形的方法.

这种处理方式，表面上看只是解决了传统教材中将二者分设后，究竟先安排勾股定理再安排实数，还是先安排实数再安排勾股定理的矛盾，彻底克服了代数与几何分科教学所带来的弊端；实质上只有把二者合为一体，才能把实数（勾股定理）“还原”到其应在的“位置”之中，才能尊重数学史实，回归到人类发现勾股定理和实数的历史，并揭示它们原本固有的这种相互“交融”的实质性联系，从而体现数学的整体性和文化价值，突出数形结合思想的价值，

本章之后将在实数范围内讨论一元一次不等式、二次根式、一次函数.这种统筹安排、整体设计的方式有利于学生逐步掌握当数域扩充后数学研究的规律和方法，加深了学生对数学本质的理解与感受.同时，这种设计更加印证了人类对数的认识是在生产、生活和数学自身矛盾的发展过程中不断加深和完善的事实.

再如，在采取分科教学时，“比和比例”过去一直安排在几何“相似形”一章中，这是因为当时比和比例在“代数”教材中用处不多，仅在学习比例线段时发挥较大作用.而今，随着数学应用要求的加强，“比和比例”在数与代数、概率与统计中都被广泛应用.因此，在编写“分式”一章时，我们把比看作特殊的分式，顺水推舟增加了“比和比例”一节，从而能够揭示这部分知识的数学实质.

三、重要的数学概念与数学思想遵循螺旋式上升的编排方案

《课标（2011年版）》指出“数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的”“教材在呈现相应的数学内容与思想方法时，应根据学生的年龄特征与知识积累，在遵循科学性的前提下，采用逐级推进、螺旋上升的原则”.对于数学中一些重要内容、思想和方法的认识、理解和应用，需要学生用较长的时间，经过反复的学习才能做到.这样的知识在教材中应分多次呈现.例如，函数概念的形成与发展就体现了这样的“螺旋上升”的过程.

案例3：函数的整体设计安排扫描.

函数是刻画变量与变量之间依赖关系的模型，是“数与代数”的重要内容，是中学教材中一个重要的核心内容，也是义务教育阶段学生比较难理解和掌握的数学概念之一.在《课标（2011年版）》规定的第三学段，关于函数的主要内容包括：常量与变量的意义，函数的图像，一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的性质及解析式的求法，及建立函数模型解答有关的实际问题等.

其总体教学要求是：能结合具体的问题情境确定函数关系，了解函数的概念和三种表示方法，会求函数解析式，会画函数的图像，在根据图像解答有关问题的过程中进一步体会数形结合思想的作用，能根据实际问题情境建立函数模型并进行解答.

我们充分借鉴国内外相关研究的成果，遵循学生的心理特征，在函数模块的课程设计中，采取了“提前渗透、分层推进、及时穿插、不断深化”的安排方式，其整体呈现顺序如图1所示：

图1

具体说来，青岛版教材对于函数内容的处理分为以下三个阶段：

1.初步感受阶段（七（上）第5章）.

这一阶段的主要任务是：通过一些具体实例，让学生感受数量的变化过程及变化过程中变量之间的对应关系，探索其中的变化规律及基本性质，尝试根据变量的对应关系作出预测，获得对函数的感性认识.

在七（上）第5章“代数式与函数的初步认识”中，当学生学习了求代数式的值以后，通过一些具体实例，引导学生由两个量的具体数量之间的关系，感受当代数式中字母的取值发生变化时这个代数式的值也相应发生变化.由此探索、发现两个量之间的一般关系，并将其中的一个量y用含有另一个量x的代数式表示，从而概括出变量、常量的意义.在学生思考含有两个量的实际问题的过程中，发现表示实际问题中两个量之间的数量关系和变化规律的方法有四种：（1）文字语言叙述；（2）列表；（3）代数式；（4）图像.这为后面学习函数的三种表示方法埋下伏笔.

教材为降低学习难度，对函数概念是分两次提出的.在学生有了上述认识后，教材对函数给出了初步的、浅显的描述：

在同一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于变量x的每一个确定的值，都能随之确定一个y值，我们就把y叫作x的函数.其中x叫作自变量，如果自变量x取a时，y的值是b，就把b叫作当x=a时的函数值.

结合代数式的学习，引出变量与函数的概念，由代数式的值引出函数值的概念，实现了代数式与函数知识的有机整合.这样安排不仅使学生得以较早地用函数的观点认识数学现象，并且体现了代数与数学分析两个领域的内在联系.为下面将要学习的一次方程与一次函数的整合提供了必要的前提.

2.理解与应用阶段（八（下）第10章）.

本阶段的主要任务是：在第一阶段感性认识函数的基础上，归纳概括出图像法的定义，并研究具体的函数及其性质，了解研究函数的基本方法，积累研究函数的经验，了解一次函数与二元一次方程之间的联系，利用一次函数的图像解二元一次方程组，研究一次函数与一元一次不等式之间的联系，借助函数的知识和方法解决问题等，使得学生能够在操作层面上认识和理解函数，从整体上理解数学.

主要内容是函数的图像，一次函数的概念、图像及其性质，一次函数与二元一次方程组及一元一次不等式的关系，一次函数的应用.在呈现课程内容时突出数形结合思想的作用.函数图像的作用有二：一是通过函数的自变量的值和函数值与直角坐标系内的点建立联系，用坐标平面内的点的位置刻画自变量与函数值的对应关系，通过点的位置的变化反映函数的某些特征；二是所有这些点的全体就构成了这个函数的图像.

教材的这种设计能充分体现“变化与对应”的思想，把抽象的数量关系和直观的函数图像结合起来，培养学生用运动变化的眼光，以函数为工具，从“数”与“形”两个方面动态地分析问题，从而全面地认识函数，帮助学生理解“数与代数”中核心内容间的实质性联系，感悟转化和数形结合的思想，提高学生对数学实质的理解和对数学各部分知识之间的整体性的感悟.为下阶段学习反比例函数、二次函数及一般性地了解函数的概念打下基础.

3.深化学习阶段（九（上）第2章及九（下）第5章）.

本阶段的主要任务是：理解对应与函数思想，深化对函数知识的理解和应用，使得学生能够一般性地了解函数的概念.教材是分两次完成这个任务的：

第一次，认识函数的本质.函数的本质是“对应”，为了让学生认识到这一点，教材在九（上）2.1“锐角三角比”中学习三角比（三角函数）时，抓住正弦进行了深刻的剖析：正弦涉及比的定义、角的大小、点的坐标、距离公式、相似三角形、函数概念等知识.正弦的值本质上是一个“比”，这个“比”就是“函数”，∠α是自变量，这个“比”之所以叫作∠α的函数，就是因为对∠α的每一个确定的值，都有一个确定的比与之相对应.有了这样的一些认识，学生对正弦的理解就比较容易了，同时对函数的本质也有了深刻的认识.

第二次，从本质上把握函数概念.教材九（下）第5章“对函数的再探索”主要研究了函数的概念及三种表示法、反比例函数、二次函数.

教材首先在分析用图像法、列表法及解析式中两个变量之间的函数关系实例的基础上，第二次给出函数的定义：

在同一个变化过程中，有两个变量x、y，如果对于变量x，在可以取值的范围内每取一个确定的值，变量y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数.

相比第一次给出的定义，这里突出了两点：一是自变量“可以取值的范围（定义域）”；二是对应关系.从而使学生对函数概念的认识得到深化.函数的这个定义比七（上）给出的定义更加靠近函数的近代定义，使学生真正理解“函数概念是建立在两个变量的依存关系之上”的.为加深学生对数形结合思想的认识，进一步获取用初等方法研究函数的体验，教材以电费的收取为例介绍了“分段函数”的知识，这样有利于开阔学生的视野，丰富对函数的认识，加深对函数的理解.

在给出函数的概念之后，教材用较长的（约15课时）篇幅借助于学习一次函数的经验依次研究了反比例函数、二次函数的图像、性质，以及二次函数与一元二次方程的联系，最后用四个实例介绍了二次函数的应用.

各种函数解析式的求法与图像的应用使得学生完成了初中阶段对函数的学习任务，为高中阶段继续学习函数打下了必要的基础.

1.李树臣.中学数学课程内容选取的原则［J］.中学数学（下），2010（3）.

2.李树臣.注重整体设计，突出实质联系——青岛版《义务教育教材·数学》八年级下册第七章“实数”简介［J］.中学数学教学参考（中），2014（1/2）.

3.李树臣，高耿海.整体把握函数内容，宏观设计教学策略——以青岛版《义务教育教材·数学》对“函数”的设计为例［J］.中学数学（下），2014（8）.

4.李树臣.重视图形几何教学，提高学生推理能力——青岛版《义务教育教材·数学》中的几何内容分析［J］.中学数学杂志，2015（6）.

5.李树臣.重视实验几何教学，培养学生的推理能力——青岛版义务教育教科书数学》八年级上册第一章“全等三角形”简介［J］.中学数学（下），2015（9）.

6.李树臣.加强数学论证教学，提高学生推理能力——青岛版《数学》八上第5章“几何证明初步”简介［J］.中小学数学，2016（9）.

7.李树臣.突出数学思想主线，优化教材知识结构——青岛版《义务教育教科书·数学》（七～九）编写的原则之一［J］.中学数学（下），2016（12）.

8.李树臣.精心设计数学活动，促进学生自主发展——青岛版义务教育教科书数学（七～九）编写的原则之二［J］.中学数学（下），2017（3）.

9.中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2012.

10.史宁中.义务教育数学课程标准（2011年版）解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.