经历过程把握本质——一道工程问题教学的启示

文︳旷生贵

经历过程把握本质
——一道工程问题教学的启示

文︳旷生贵

【教学片段】

师出示例题：修一条道路，如果甲队单独修，12天能修完。如果乙队单独修，18天才能修完。如果两队合修，多少天能修完？

学生阅读题目，弄清楚单独修、合修的意思，找出题目给出的条件及要求的问题后独立解答。有学生提出：“要求两队合修的工作时间，要知道两队合修的工作总量和两队工作效率之和。可是题目中并没有告诉我们两队合修的工作总量是多少。是不是少了一个条件呢？”

师：题目中没有告诉这条道路的长度，我们该怎么办呢？

生：可以假设这条道路的长度。

师：那就先假设这条道路的长度，并根据你们假设的长度求出两队合修多少天能完成。（提示：为了计算的方便，建议道路的长度取整千米数）

学生独立思考后，教师组织学生交流。

生1：我假设道路的长度是18千米，那么：18÷（18÷12＋18÷18）=7.2（天）。

生2：我假设道路的长度是30千米，那么：30÷（30÷12＋30÷18）=7.2（天）。

生3：我假设道路的长度是36千米，那么：36÷（36÷12＋36÷18）=7.2（天）。

生4：我假设道路的长度是1千米，那么：1÷（1÷12＋1÷18）=7.2（天）。

师（对生4）：请你说说每步计算的含义。

生4：1是假设这条道路长1千米，1÷12是甲队的工作效率，1÷18是乙队的工作效率，7.2天是两队合修的时间。（板书：总长度÷（甲队的工作效率＋乙队的工作效率）=合修的时间）

师：仔细比较上述4位同学的算法，你们有什么想说的吗？

生5：他们都是用“总长度÷（甲队的工作效率＋乙队的工作效率）=合修的时间”。

生6：他们假设的这条道路的总长度是不同的，为什么两队合修的时间相同？

师：是啊！为什么会这样呢？总天数和总路长有关系吗？为什么总路长改变，得到的天数却是不变的？这个问题中什么东西是不变的？请同学们小组交流讨论。

生7：因为工作总量扩大了，工作效率也在扩大，而且扩大的倍数相同，所以时间不变。

生8：无论道路多长，甲队和乙队每天修的分别占总长的几分之一没有变。

师：你们同意生8的说法吗？

生：……

师：（小结）因为两个队单独修完这条路所用的时间没变，如果工作总量改变，那么每个队单位时间内完成的工作量也就变了。但是单位时间内所完成的工作量占总工作量的分率（两队每天修的长度占总长度的几分之一）没有变化。如果没有具体道路的长度，这道题还能解答吗？

生：可以把这条道路的总长度看作单位1，题目要求多少天完成任务，实际上就是求工作总量1中含有多少个单位时间内所占总量的分率。

我的思考

数学教学需要让学生经历探究、思考、抽象、预测、推理、反思等过程，逐步达到对数学知识的意会、感悟，并积累分析和解决问题的基本活动经验。这些基本活动经验是教师没有办法教给学生的，必须由学生通过大量的数学活动逐步获得。上述教学片段中，当学生说“可以假设这条道路的长度”后，教师顺着学生的想法，让学生利用自己假设的数据尝试解决问题。学生通过假设与计算，发现总路长不同，算出的天数都是相同的。接着教师引导学生思考：“总天数和总路长有关系吗？为什么总路长改变，得到的天数却是不变的？这个问题中什么东西是不变的？”学生通过交流讨论，发现两队每天修的长度占总长度的几分之一是不变的。因此，很自然地想到可以把道路长度假设成1。学生经历了从具体数量逐步抽象的过程，对提高问题解决的能力至关重要。教学中，教师把重点放在探究假设法的过程中，组织学生进行观察、比较、独立思考、交流讨论，找出隐藏其后的数量关系。特别是通过“假设数据不同，得到结果相同”的讨论，拓宽了学生对工程问题的理解，找到这一问题背后的数学模型。这样的教学既让学生掌握了解题思路和解题方法，又让学生弄清了假设不同的数据得出相同结果的原因，更锻炼了学生的抽象、归纳、概括能力。

（作者单位：攸县教育局）