建模思想在棱锥外接球问题中的应用浅析——借用长方体解决多面体外接球问题

广东广州市第四十一中学 谢卫煌

新课标提出：“在教学中，应注重让学生在实际问题中理解基本的数量关系和变化规律……”。即在教学中，要让学生“经历将一些实际问题抽象为数学问题过程”，在数学活动中体会数学、了解数学、认识数学。甚至我们还要学会欣赏数学那“抽象”的“冰冷”的美，所以在数学教学中应该强调建模思想渗透，让学生经历“问题情景——数学建模——求解——解释与应用”的基本过程。

初看概念，一个是多面体，一个是长方体，两个不同的概念，怎么可以联系起来呢？我们首先来看最简单的多面体即三棱锥与四棱柱的关系。首先，我们追究一下三棱锥的概念：一个底面是三角形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做三棱锥。再看四棱柱，一个四棱柱（长方体是特殊四棱柱）可以分割成三个三棱锥，从这一点可以看出，三棱锥可以由四棱柱分割而来，可以看出三棱锥与四棱柱之间的关系，也就是说，三棱锥与四棱柱还是有着紧密的联系的，正因为这种紧密的联系，才让三棱锥的外接球问题可以尝试着用四棱柱去解。是否可以由此迁移，其他多面体外接球问题也可以借助直棱柱来解决呢？值得反思与探讨，这里，我们只研究多面体与最简单、最特殊的直棱柱即长方体之间的关系。同时，通过对全国高考卷试题的分析发现，多面体的外接球问题是高考的热点与高频考点，所以研究“借用直四棱柱解决多面体外接球问题”的方法具有非常现实而迫切的意义！具体来说：就是把多面体置身于长方体（含正方体）中，把长方体作为母体，建立数学模型，通过求它们的外接球半径，从而求多面体外接球半径，很多问题可以实现转化。这里首先引入两个公式，设正方体棱长为a，外接球半径为R，则；设长方体的棱长分别为a,b,c，外接球半径为R，则

一、三棱锥

1.正四面体

问题：一个棱长为2的正四面体，求其外接球的表面积？

如图1所示，把正四面体置身于正方体中，即可转化为求棱长为1的正方体的表面积，迎刃而解。

2.三棱两两垂直

例1：已知三棱锥P-ABC中，PA,PB,PC两两垂直，且PA=2,PB=PC=1，求三棱锥P-ABC外接球的体积？

如图2所示，把三棱锥P-ABC置身于棱长分别为2，1，1的长方体中即可。

3.四个面是直角三角形

例2（2017年广州市一模第10题）：《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑。若三棱锥P-ABC为鳖臑, PA⊥平面ABC,PA=AB=2，AC=4,三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上, 则球O的表面积为（ ）

（A）8π（B）12π（C）20π（D）24π

如图3所示，同样可借长方体的“壳”，求三棱锥外接球表面积。该三棱锥实际上就是长方体的一部分即三棱锥P-ABC,底面△ABC是直角三角形，从而可求,从而选C。

4.底面是直角三角形

例如：如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯

视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（ ）

A.B.8π C.9πD.

解析：把该三视图对应的几何体还原并指置身于

直棱柱中，如图4，发现底面是△ABCD直角边分别为

5.对棱相等

这种三棱锥的外接球问题其实已经相对复杂，但如果建模，构造长方体，转化为长方体的外接球问题，思维敏捷，效率高效，可以达到“山重水复疑无路，柳暗花明又一村“的美好境界。

如在三棱锥A-B C D中，已知求三棱锥A-BCD的外接球的表面积？

解析：如图5所示，把A-BCD置身于长方体中，设棱长分别为a,b,c，使各面对角线满足条件即可，则由，从而利用公式得到：所以三棱锥A-BCD的外接球的表面积为S=17π。

二、四棱锥

例4：如图6所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个多面体的三视图，若该多面体的所有顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ）

A. 8π B.12π C.16π D.32π

解析：经三视图还原几何体可知该几何体为一个底面边长为一条侧棱垂直于底面的四棱锥，把它置身于一个正方体内（如图，正对的为面PBD），很快即可以由公式得到从而选A。

三、其它多面体

例5：一个长方体被一个平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图10所示，则该几何体的体积为（ ）

A. 24 B. 48 C. 72 D.9 6

要求该几何体的体积，首先需要还原几何体，这个问题的背景是“几何体由长方体产生”，所以，结合三视图，只要先画一个长为6，宽为4，高为4的长方体，在该长方体中可以较快得到多面体从而迅速求得该几何体的体积为48.

通过对本题的研究，学生真正经历了一次彻头彻脑的“问题情景——数学建模——求解——解释与应用”的基本过程，真正领略建模思想的数学意义，让多面体的外接球问题具备了广袤无垠的生机，并得到高效解决，从而收获学生浓厚的信心。对于全国卷来说，考查能力要求提高了，对于多面体外接球问题，牵涉到由三视图还原几何体、如何找多面体外接球半径，知识点多，还要求具备较强的空间想像能力，对于理科生来说，已经不容易，对于文科生来说，更是难点，所以，作为教师，应该充分调动学生思维，把实际问题转化为数学问题，充分利用转化思想，使问题得到简化与高效。建模思想在解决多面体外接球问题中的意义，不仅仅在于化复杂多面体为特殊几何体，还在于这种思想在“还原几何体”中的应用。所以，借用长方体解决复杂多面体外接球问题具有重大的意义！