函数易错题分析

文/马爱平

函数易错题分析

文/马爱平

责任编辑：王二喜

在解有关函数问题时，我们会出现一些错误.现把常见的错误列举出来，并加以分析，希望你能从中吸取教训，避免犯类似的错误.

一、没有掌握对称点的坐标特征

例1（2016年成都卷）平面直角坐标系中，点P（-2，3）关于x轴的对称点的坐标为（ ）

A．（-2，-3）. B．（2，3）. C．（-3，2）. D．（3，-2）.

错解：B.

剖析：P（-2，3）关于x轴的对称点是（-2，-3）.选A．

温馨小提示：点（x，y）关于x轴对称的点是（x，-y），关于y轴对称的点是（-x，y），关于原点对称的点是（-x，-y）．

二、忽视自变量的取值范围

例2（2016年齐齐哈尔卷）点P（x，y）在第一象限内，且x+y=6，点A的坐标为（4，0）．设△OPA的面积为S.在下列图象中，能正确表示面积S与x之间的函数关系式的图象是（ ）

错解：选D.

剖析：本题中的自变量x和S都具有实际意义，图象必在第一象限内.

∵点P（x，y）在第一象限内，且x+y=6，∴y=6-x（0＜x＜6，0＜y＜6）.

温馨小提示：在实际问题中，自变量的取值范围会受到限制，所以对应的图象可能是原函数图象的一部分．

三、求自变量取值范围时顾此失彼

A.x＞3. B.x≥3. C.x＞4. D.x≥3且x≠4.

错解：选B.

剖析:错解只考虑到二次根式的被开方数必须大于等于0，没有注意分母不能为零，应是x-3≥0，且x-4≠0，∴x≥3且x≠4.选D.

温馨小提示：自变量x必须满足两个条件：一是二次根式有意义，二是分式有意义．

四、审题错误

例4（2016年菏泽卷）小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，加快了骑车速度.下面是小明离家后他到学校剩下的路程s关于时间t的函数图象，那么符合小明行驶情况的图象大致是（ ）

错解：选C.

剖析：在选项C中，s是小明离家的路程，其实s表示小明离家后他到学校剩下的路程.事实上，小明家离学校有一段路程，图象不可能经过原点，排除A和C.开始是用正常速度匀速行驶，时间增加，路程不断减小，图象是一条倾斜的线段；修自行车这一段时间，时间增加，路程没变，图象是一条平行于x轴的线段；车修好后加快了骑车速度，相距的路程s随着时间t的增加而快速减少，线段的倾斜程度变“陡”.选D.

五、没有对函数解析式分类讨论

例5（2016年荆州卷）若函数y=（a-1）x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为_____．

错解：∵函数y=（a-1）x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，

∴Δ=16-4（a-1）×2a=0，解得a1=-1，a2=2.故a的值为-1或2.

剖析：它可以是二次函数，也可以是一次函数，漏掉了后一种情况.

正解：（1）当a≠1时，同上解，可得a1=-1，a2=2；

（2）当a=1时，此时y=-4x+2，它的图象与x轴也有且只有一个交点，满足要求.

因此a的值为-1或2或1．

温馨小提示：对于含字母系数的函数问题，要注意对解析式分类讨论.

六、利用反比例函数的性质解题时没有分象限

例6（2016年天津卷）若点A（-5，y1），B(-3，y2），C(2，y3)在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）

A.y3＞y1＞y2. B.y1＞y2＞y3. C.y2＞y1＞y3. D.y3＞y2＞y1.

错解：∵k=3＞0，∴y随x的增大而减小，而-5＜-3＜2，∴y1＞y2＞y3.选B.

剖析：反比例函数的性质是分象限研究的，当k＞0时，图象在同一个象限内，y随x的增大而减小.错解忽视了这一点.其实由-5＜-3＜0，只能得到y1＞y2；再由y1，y2都小于0，而y3大于0，有y3＞y1＞y2.选A.

温馨小提示：应用反比例函数的性质解题时一定要注意分象限研究.本题还可分别求出y1，y2，y3的值为，所以y3＞y1＞y2.也可以画出反比例函数的图象，借助于图象可得y3＞y1＞y2.

七、平移错误

例7（2016年泰安卷）将抛物线y=2（x-1）2+2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，那么得到的抛物线的表达式为______.

错解：y=2（x-4）2-2.

剖析：抛物线y=a（x-h）2+k的平移就是顶点的平移，将点（h，k）向左平移m个单位得（h-m，k），此时抛物线为y=a（x-h+m）2+k，因此原抛物线向左平移3个单位后y=2（x-1+3）2+2=2（x+2）2+2，再向下平移4个单位，所以y=2（x+2）2+2-4=2（x+2）2-2.

温馨小提示：二次函数图象的平移，实质上是顶点坐标的平移，只要确定平移前后的顶点坐标，就可以写出平移后的解析式.

八、点的坐标与线段长度的转化错误

例8（2016年鄂州卷）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1，点C在y轴的负半轴上，且OA=OC，则（ ）

A．ac+1=b B．ab+1=c C．ac+1=-b D．以上都不是

错解：当x=0时，y=ax2+bx+c=c，则C（0，c），∵OA=OC，

∴A（c，0），∴ac2+bc+c=0，∴ac+b+1=0，即ac+1=-b，选C.

剖析：由图象可知，点C在y轴的负半轴上，因此其纵坐标应该为负数，即c＜0；点A在x轴的正半轴上，即点A的坐标为（-c，0）.

图1

正解：当x=0时，y=ax2+bx+c=c，则C（0，c）.

∵点C在y轴的负半轴上，∴c＜0.

∵OA=OC，∴OA=|c|.

又点A在x轴的正半轴上，

∴A（-c，0），∴a·（-c）2+b·（-c）+c=0，∴ac-b+1=0，

即ac+1=b.选A．

温馨小提示：要注意线段长与点的坐标的相互转化.由点的坐标求线段长需要加绝对值，由线段长求点的坐标要注意符号．

九、重复计算重叠部分的面积

例9（2016年包头卷）一幅长20cm、宽12cm的图案，如图2，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3∶2．设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2．

（1）求y与x之间的函数关系式；

剖析：由图2可知，三条彩条的面积=横彩条的面积+2条竖彩条的面积-横竖彩条重叠矩形的面积.

图2

（2）根据题意得-3x2+54x=×20×12，

即x2-18x+32=0，∴x1=2，x2=16（舍去），

答：横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm．

温馨小提示：解决问题时，可运用图形的变换，将三条彩条平移到边上，则y=20×12-=-3x2+54x，即可避免上述错误.