折叠问题中折痕旋转的探索

金建伟

【摘要】轴对称、折叠问题是中考的热点、难点问题，几何图形的折叠问题，实际是轴对称问题.通常是把某个图形按照给定的折痕折叠，比较折叠前后全等图形，搞清折叠前后哪些量变了，哪些量没变，根据对称点与折痕的联系、变化来命题.折叠问题的解决离不开折痕的研究，折痕（对称轴）的类型有固定、平移、旋转三种类型，本文着重探索折痕旋转类型，这类题目立意新颖，能培养学生的识图、想象、灵活运用数学知识解决问题的能力.我们在研究这类问题时要善于由形思数、由数思形、数形结合，找出对称轴（折痕）旋转过程中的规律，能起到化难为易、化繁为简的效果.

【关键词】对称轴；折痕；垂直平分；平移；旋转

折叠、轴对称问题的解决，离不开对折痕、对称轴的研究，结合折叠前后的图形关于折痕成轴对称关系，即图形之间的全等，得出对应线段和对应角相等，对应点的连线被折痕垂直平分等知识来解决问题.如果折痕（对称轴）是固定不动的题型，考生相对容易解决.如果折痕（对称轴）是旋转的题型，折叠后的图形随着折痕（对称轴）的旋转而发生改变，解决这类题，学生往往很难找出变换后的图形的位置特征，不知从何下手解题，无法解出题目.下面对涉及纸片折叠、轴对称有折痕（对称轴）旋转的题型进行研究、剖析，发现其本质规律，找出变换后图形的位置特征，让学生容易入手.

首先我们来研究当直线l（对称轴）绕固定点O旋转时，固定点A的对称点A′有什么特征呢？如图1所示，根据轴对称的性质可知：l⊥AA′，AB=A′B，OA=OA′必成立.由于点O、点A是固定点，线段OA的长度是定值，轴对称线段OA′=OA，OA′是定值，随着对称轴l的旋转，对称点A′的位置跟着运动，运动过程中动点A′到定点O的距离等于OA长度，固定不变，动点A′的运动路线看成在以O为圆心，OA为半径的圆弧（如图2、图3）.

即当对称轴沿某一固定点（中心）旋转时，对称点在以固定点（中心）为圆心，定长为半径的圆弧上.

折叠问题中的折痕转动问题，就是研究对称轴的旋转.如果能发现折痕（对称轴）绕固定点旋转时，对称点在圆弧上的这一特征，学生可以通过画圆弧帮助解决问题，打开思路，达到化繁为简的目的.

例1 （宁德中考数学）如图，在Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=BC=4，点P在AC上运动，将纸片沿PB折叠，得到点C的对应点D（P在C点时，点C的对应点是本身），则折叠过程对应点D的路径长是.

分析 本题是折叠问题，学生较难想象点D的位置，动手操作起来也比较困难.如果能发现折痕PB绕着固定点B在转动时，根据轴对称的知识，固定点C的对称点D始终满足BC=BD，即点C的对称点D在以B为圆心，BC长为半径的圆弧上（如图5）.当点P与点C重合时，点D与点C重合（如图6），当点P与点A重合时，点D的位置如图7所示，由题意可得∠ABC=45°，根据对称得∠DBA=45°，∠DBC=90°，点D的路径长是以点B为圆心，BC长为半径，圆心角为90°的圆弧长，本题就迎难而解了.

解答 lCD=14π×r2=14π×42=4π.

例2 如图8，在矩形纸片ABCD中，BG=10，BC=13，将纸片沿过点G的折痕GE折叠，折痕与矩形的另一边交于点E，顶点B的对应点F落在边AD上.

图8

（1）① 若AB=10时，满足条件的点F有个；

② 若AB=13时，满足条件的点F有个；

③ 若满足条件的点F有2个时，AB取值范围为；

④ 若满足条件的点F有1个时，AB取值范围为；

⑤ 若满足条件的点F有0个时，AB取值范围为.

（2）当AB=8，求出折痕的长.

分析 初看本题后，学生较难想象点F的位置，不易入手.如果能发现折痕（对称轴）GE绕着固定点G转动时，根据轴对称的知识，固定点B的对称点E始终满足GB=GF，即点B的对称点F在以G为圆心，BG长为半径的圆弧上.当AB的长度不同时，圆弧与AD边会出现相离、相切、相交3种位置关系（如图9、图10、图11），满足条件的点F有0个、1个、2个，本题就迎难而解了.

例3 （河南中考数学）动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5.如图12所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动.若限定点P，Q分别在AB，AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为.

分析 本题也属于折叠为背景的问题，折痕（对称轴）旋转类型，当点Q固定某个位置时，随着点P从点A向点B的移动，折痕（对称轴）看成绕点Q在旋转，QA=QA′始终成立，定点A的对称点A′始终在以点Q为圆心，QA为半径的圆弧上.而本题的点Q是移动的，随着点Q位置不同，就可以画无数个以Q为圆心，QA长为半径的圆弧，就是对称点A′的可能路线，与BC边的交点就是满足条件点A′的位置，观察下面这组图（如图13—图17）.当点P与点B重合（如图15），即QA=AB=3时，点A′刚好能落在BC上；随着点Q越往点D方向移动，圆弧与线段BC的交点A′越往左边移动（如图15、图16、图17），当点Q与点D重合时（如图17），就是对称点A′在最左边的情形，只需求出图17中BA′长度，

与图15中BA′长度，两者长度之差，就是点A′在BC边上可移动的最大距离.

折疊问题中“折”是过程，“叠”是结果，其实质是轴对称变换.平面图形的折叠问题能够考查学生动手操作能力与空间想象能力及推理能力.遇到折叠问题中折痕（对称轴）旋转时，如果能发现对称点在圆弧上运动的特征，学生在解题时可以达到降低难度，化难为易的目的.

教师在课堂教学过程中要多搜集、整理、归类一些有价值的例题和习题，发现问题的本质、规律，打开学生的思路，使学生的解题思路更为清晰，思维的应变能力得到充分的锻炼和培养.

【参考文献】

[1]吴岩.破解2012年中考折叠问题的思路[J].中学教学参考，2013（14）：9-10.

[2]刘强.中考试题中的折叠问题[J].中小学数学（初中版），2014（06）：28-29，31.