系统教学之平行四边形的判定的再讨论

天津经济技术开发区第一中学 刘 东

一直以来，教学改革创新的脚步就始终没有停下过，改教材，改技术支持，改变授课方式，改变教学理念……是的，社会的发展，学生的变化，我们的教育每天都应该是新的，我们的教育不仅仅再是成绩，更多的是关注学生的发展，关注学生的明天。但如何真正做到以生为本，怎样才能构建好适合学生的数学教学呢？笔者认为创新不能仅仅靠新技术、丰富的课堂组织形式，数学教学设计的系统化、体系化更应该是数学教学发展的根本。

关于平行四边形的判定，在人教版义务教育教科书中是以这样的思路呈现给学生的：通过平行四边形性质的逆定理，引出相关命题，并给出证明。学生便于理解、接受，但对于学生知识系统的建立无益，笔者一直致力于寻找一种更为系统的教学设计，使得学生能够有所凭借，开展探究，进而在更广阔的视角下得到结论，更在乎探索的方法、能力上。现在梳理如下，供一线教师参考及丰富相关研究。

第一篇，定理系统。

类比三角形的要素：边、角，平行四边形在边、角的基础上，增加了一个新要素：对角线。因此我们研究平行四边形的有关知识，是通过研究平行四边形的基本要素：边、角、对角线展开的。平行四边形的性质，边的角度包括：对边平行、对边相等；角的角度包括：对角相等；对角线的角度包括：对角线互相平分。反其道而思考：边、角、对角线具有什么样的要求，可以保证四边形为平行四边形呢？

1.除去对角线互相平分（对角线互相平分是一个独立的条件），还可以得到六组性质（如图所示）：①AB∥CD；②AD∥BC；③AB=CD；④AD=BC；⑤∠A=∠C；⑥∠B=∠D。

课本给出四种判定方法（除去对角线互相平分），而以上六组条件中任意选出两组来，总共有15种组合。以下对15种情况进行归纳、分类。

第一种：两组对边平行。

（1）①AB∥CD；②AD∥BC。

这刚好是平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

第二种：一组对边平行且相等

（1）①AB∥CD；③AB=CD。

（2）②AD∥BC；④AD=BC。

可证四边形ABCD是平行四边形。

第三种：一组对边平行，另一组对边相等。

（1）①AB∥CD；④AD=BC。

（2）②AD∥BC；③AB=CD。

这种组合不能判定四边形为平行四边形，即：一组对边平行，另一组对边相等的四边形为平行四边形为假命题。

第四种：一组对边平行，一组对角相等。

（1）①AB∥CD；⑤∠A=∠C。

（2）①AB∥CD；⑥∠B=∠D。

（3）②AD∥BC；⑤∠A=∠C。

（4）②AD∥BC；⑥∠B=∠D。

这种情况是可以得到正确结论的。但是，线段的位置关系（平行）与角的数量关系（相等、互补）可以通过三线八角模型来互相转化，因此第四种方法可以转化为两对边平行或两对角相等的情形。

第五种：两组对边相等。

（1）③AB=CD；④AD=BC。

可以得证四边形ABCD是平行四边形。

第六种：一组对边相等，一组对角相等。

（1）③AB=CD；⑤∠A=∠C。

（2）③AB=CD；⑥∠B=∠D。

（3）④AD=BC；⑤∠A=∠C。

（4）④AD=BC；⑥∠B=∠D。

这种组合不能得到正确结论。

第七种：两组对角相等。

（1）⑤∠A=∠C；⑥∠B=∠D。

可得四边形ABCD是平行四边形。

综上所述最后的七种分类中，有两类不能得到结论，一类可以转化成其他类型，因此说书上的定理体系是完备的。

对角线互相平分是一个独立的判定条件，命题表述为：对角线互相平分的四边形是平行四边形。显然此命题为真命题。

理论上，五种方法融会贯通都能证明，但有繁简之分，依不同的条件选择不同的方法自会得到简单的证法。

第二篇：方法论。

已知条件为的对角线，首选对角线角度，判定方法5。

例1已知，如图所示，在□ABCD中，E、F是AC的三等分点.

求证：四边形BEDF是平行四边形.

方法一：边的角度。

方法二：对角线的角度。

孙维刚先生说过，数学教学的目的在于培养学生一颗强大的头脑，培养学生逢山开路、遇水搭桥的本领。醉翁之意不止在酒，更在乎探索问题的方法与技巧上。有了以上的经历，对于平行四边形的性质与判定就有了系统的把握。更重要的是，交给学生一种研究问题的方法，让学生有所凭借，展翅高飞。