“数形结合”在数学解题中的应用

哈尔滨师范大学数学科学学院 冯 宇

“数形结合”在数学解题中的应用

哈尔滨师范大学数学科学学院 冯 宇

在数学解题过程中，数形结合思想方法的应用较普遍，且效果较好。数形结合，即结合数与形之间的对应关系，实现简单直观几何图形、位置关系与抽象数学语言的密切联系，实现“以形助数”、“以数解形”的目标，提高数学解题效率。在高中数学解题中，数形结合思想方法的应用尤其频繁。

数形结合；数学；解题；应用

如今，随着我国教育制度的严格化，高中数学题目开始抽象化，仅想从数方面解决问题很难。因此，在实际的数学解题分析当中，要想促进学生对数学知识的理解与运用，必须将抽象的知识点简单化与直观化。而数形结合思想方法的运用能实现这一点，能帮助学生分析和解决高中数学问题，提高高中数学解题效率。本文主要探讨“数形结合”在数学解题中的有效应用。

一、“数形结合”在高中数学解题中能解决的问题分析

1.集合问题

在高中数学问题当中，集合问题是最基本的，在实际解决该类问题时，往往需要运用数轴及Venn图，科学运用数形结合思想方法，促进抽象问题的简单化，帮助学生快速而正确地解决问题。

例：假设有两个集合：M={（x，y）︳x2+y2=1，x∈R，y∈R}，N={（x，y）x2-y=0，x∈R，y∈R}，求集合M∩N中的具体元素数量。（答案应为2个）

分析：通常来说，如果依靠单纯数量关系解题的话，往往运用这种思想与方法：x2+y2=1，x2-y=0，在联立这两大方程之后能够形成方程组，解答方程组以后，能得到x2+x4-1=0。通过这种方式可以得出x的值，进而求出y值。该解题步骤较多，过程复杂，所需时间多，解题效率低。但在运用数形结合思想之后，就能在多次审题后得出x2+y2=1这个方程式，可以准确地表示圆，x2-y=0可以表示抛物线，将这个问题转化为圆和抛物线之间的多个交点，其中圆用x2+y2=1表示，抛物线用x2-y=0表示。运用这种数形结合的模式方法，可以在绘图的基础上得出准确答案，不需要复杂的计算，且解题效率比较高。

2.函数问题

在方程问题的解答过程中，能转化为函数交点之间的问题；不等式问题可能结合题干要求与相关条件转化为函数问题，研讨几何意义，通过数形结合，从图形中得出正确结果。

例：在x∈（0，2π）这个区间内，方程sin2x=sinx的解有多少个？（答案应为3个）

分析：若运用单纯解题方法，解题过程为：结合sin2x=2sinxcosx=sinx，可知2cosx=1，根据题目要求x∈（0，2π）可得出答案，即得方程sin2x=sinx的解有3个。虽然这种方法可行，但需一次性计算，容易由于疏忽而遗漏有效答案。而运用数形结合思想，在相同坐标系中绘出两个三角函数的图象，进而观察图象，就能快速得出正确答案。

3.线性规划问题

在高中数学题目当中，线性规划问题即受一系列条件的约束，求目标函数最值。在线性规划问题的解决过程中，数形结合思想方法应用最广泛，通过观察图形找思想，就能实现抽象问题的简单化与具体化。

4.数列问题

在高中数学解题当中，可将数学看成一个特殊函数。在实际解决数列问题的过程中，应科学运用数形结合思想转化成函数图象，通过直观分析得出结果。

5.绝对值问题

在绝对值问题解答过程中，可结合数形结合思想，将该问题转换到直观的数轴上，结合绝对值性质明确相应的解题范围，最终求出绝对值。

例：已知∣x∣＞a，（a＞0），求x的取值范围。

分析：可结合数形结合思想方法转换为数轴，如图1，进而结合绝对值性质，即两点之间的距离，求出x的取值范围，即x＜-a或x＞a。

图1

6.解析几何与立体几何问题

在高中数学解题当中，解析几何与立体几何问题的解决思想，即为数形结合思想。在实际解题过程中，应将点、线、面及曲线性质即相互之间关系的几何问题，转变为单纯的代数运算问题，得出正确结果。

二、“数形结合”在数学解题中运用的改进方法

1.运用数形结合思想，理解数学概念

要想有效地解决高中数学题，首先必须熟练掌握数学基础概念，不然容易在学习数学定理等时感到吃力。运用数形结合方法理解基础概念，能实现学生感性思维到理性思维的有效转变，促进学生对事物本质的理解，与此同时，还能帮助学生在解题当中科学运用数学思想与概念。

2.运用数形结合思想，分析数学例题

在高中数学学习中，通过案例分析，能促使学生掌握新的数学知识点。此外，在数学例题分析当中，通过合理运用数形结合思想，能帮助学生快速学习，提高学生的数学解题能力。比如学生在解答几何问题时，可将其中的语言翻译为几何知识，绘出图形，进行下一步的计算。

3.运用数形结合思想，解决实践类问题

要想提高学生的解题能力，必须引导学生科学运用数形结合思想，多解决一些实践类问题。与此同时，要激发出学生自主学习的兴趣与积极性，促使学生主动认知数学知识，在反复练习的基础上掌握数形结合思想本质，加快解题速度，节省解题时间。

4.运用数形结合思想，培养多元化解题思路

图形直观性很强，因此，学生在解题当中可通过图形观察解决抽象问题，解决解题思想局限性问题。学生必须有较强的数形结合解题意识，注意培养图形感知能力。同时，学生必须认真分析题目已知与隐含的要求与条件，确保解题结果的准确性与全面性。另外，学生要结合图形明晰题意，科学转化与整合图形，逐渐降低问题解决难度，且要着重培养自己的空间思维能力。

综上所述，在实际的高中数学解题过程中，合理运用数形结合思想方法很重要，也很有效，不仅能提高学生的解题效率，还能培养学生的解题思维，简化高中数学问题，值得广泛应用与推广。

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