谈对一类斜率问题的探究

筅江苏省张家港市沙洲中学戴御梅

谈对一类斜率问题的探究

筅江苏省张家港市沙洲中学戴御梅

在高考和竞赛中，常常出现这类问题：曲线上一定点P引出两动弦PQ、PR，这两弦的斜率之和为定值，则动直线QR恒过定点或kQR恒为定值；平面内与两定点连线斜率之和、差、积、比为定值（不为0）的点的轨迹是什么样的？它们有怎样的性质？下面就这类问题进行探究.

一、与两定点连线斜率之和为定值的点的轨迹及方程

探究1：平面内与两个定点连线斜率之和为定值的点的轨迹.

不妨设两定点为F1（-c，0）、F2（c，0）（c>0），动点与两个定点连线斜率之和为t.

设动点为P（x，y），因为所探究的与两定点连线的斜率都是存在的，所以x≠±c，否则无意义.

故由kPF1+kPF2=t可得

即2xy=tx2-tc2，这就是所求轨迹的方程.

那么它的轨迹是什么？

易知x≠0，将2xy=tx2-tc2变形后可得

①当t>0时，其轨迹为双曲线（不含F1、F2两点），且图像关于原点中心对称，存在两条渐近线，其中一条为y轴.t越接近于0，双曲线越弯曲；t→+∞时，图像趋于两条直线.

②当t<0时，其轨迹还是为双曲线（不含F1、F2两点），且图像关于原点中心对称，存在两条渐近线，其中一条为y轴.t越接近于0，双曲线越弯曲；t→-∞时，图像趋于两条直线.

二、与两定点连线斜率之差为定值的点的轨迹及方程

探究2：平面内与两个定点连线斜率之差为定值的点的轨迹.

不妨设两定点为F1（-c，0）、F2（c，0）（c>0），动点与两个定点连线斜率之差为t.

设动点为P（x，y），因为所探究的与两定点连线的斜率都是存在的，所以x≠±c，否则无意义.

故由kPF1-kPF2=t可得

所以，其轨迹为抛物线.（同理可得kPF2-kPF1=t也具有类似的轨迹方程，由于篇幅原因，不再讨论，下同）

①当t>0时，其轨迹为抛物线（不含F1、F2两点），开口向下，且关于y轴对称.t越大，抛物线的开口越小；t→+∞时，图像趋于两条直线，两直线在无穷远处交于点

即-2cy=tx2-tc2，这就是所求轨迹的方程.

那么它的轨迹是什么？

将轨迹方程-2cy=tx2-tc2变形后可得

②当t<0时，其轨迹仍是抛物线（不含F1、F2两点），开口向上，且关于y轴对称.t越小，抛物线的开口越小；t→-∞时，图像趋于两条直线，两直线在无穷远处交于点

三、与两定点连线斜率之积为定值的点的轨迹及方程

探究3：平面内与两个定点连线斜率之积为定值的点的轨迹.

设两定点为F1（-c，0）、F2（c，0）（c>0），与两个定点连线斜率之积为t.

设动点为P（x，y），因为所探究的与两定点连线斜率都是存在的，所以x≠±c，否则无意义.

故由kPF1×kPF2=t可得

即tx2-y2=tc2，这就是所求轨迹的方程.

那么它的轨迹是什么？

将轨迹方程tx2-y2=tc2，变形后可得

①当t>0时，其轨迹为双曲线（不含F1、F2两点），且关于原点中心对称，存在两条渐近线，其渐近线方程为y= ±x，图像关于x、y轴对称，其离心率为越接近于0，双曲线越弯曲；t→+∞时，图像趋于两条直线.

②当-1

③当t=-1时，其轨迹方程为x2+y2=c2（不含F1、F2两点）.其轨迹为以c为半径且圆心在原点的圆，图像关于原点中心对称，关于x、y轴对称.

④当t<-1时，其轨迹为椭圆（不含F1，F2两点），且关于原点中心对称，关于x、y轴对称.其离心率为，t越小，椭圆越扁，此时焦点在y轴上.t→-∞时，图像越趋于两条直线，两直线

四、与两定点连线斜率之比为定值的点的轨迹及方程

探究4：平面内与两个定点连线斜率之比为定值的点的轨迹.

设两定点为F1（-c，0）、F2（c，0）（c>0），与两个定点连线斜率之比为t.

设动点为P（x，y），因为所探究的与两定点连线斜率都是存在的，所以x≠±c，否则无意义.

由kPF1÷kPF2=t可得

那么它的轨迹是什么？

当t=1时，代入（1-t）x=ct+c，得0=c+c，即c=0，这与假设c>0矛盾，所以t≠1.

当t≠1时，将其变形后可得

所以，其轨迹为一条直线.

①当t>1时，其轨迹为一条在y轴左侧的直线，t越大，越靠近y轴.当t→+∞时，其轨迹趋于x=-c所在的直线.

②当0≤t<1时，其轨迹为一条在y轴右侧的直线，t越小，越靠近y轴.当t→0时，其轨迹趋于x=c所在的直线.

③当t<0时，其轨迹为一条直线，在x=-c和x=c之间移动.t越小，越靠近x=-c所在的直线.当t→-∞时，其轨迹趋于x=-c所在的直线.

五、定点P引出两动弦PQ、PR，这两弦的斜率之和为定值，则动直线QR恒过定点或kQR恒为定值

探究5：二次曲线Ф：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0上有一定点P（x0，y0）和异于点P的两动点Q、R，则kPQ+kPR= λ≠-且为定值的充要条件是动直线QR过定点的充要条件是，其中Ф1=2Ax0+By0+D，Ф2=Bx0+2Cy0+E.

证明：做平移：x′=x-x0，y′=y-y0，代入Ф（x，y）=0，得

Ax′2+Bx′y′+Cy′2+Φ1x′+Φ2y′=0.（1）

设QR的方程为lx′+my′=1，代入（1），得

Ax′2+Bx′y′+Cy′2+（Φ1x′+Φ2y′）（lx′+my′）=0，整理得是方程（2）的两根，

一般来说，教材中给出知识是最精练的学科知识，不会进行更加深入的探究.这是因为教材作为人类知识的精华，不可能、也不允许对一个问题作长篇幅的阐述.但是，在数学教学中，教师如果只是讲课本上的知识，不对相关问题进行拓展与挖掘，学生就不能养成自我探索与自我反思的思维习惯.数学教学中，教师应该结合课本内容和学生的实际情况，对教材知识进行适当的拓展，设计一些既能够激发学生探究兴趣，又能够让学生经历思考，进行探索的题目，这对学生数学思维能力的提高会有很大的帮助.

因此，在数学教学中，数学教师应有意识地提出一些学生感兴趣的、并有一定深度的课题，组织学生开展讨论，在师生互相切磋、共同研究中来增进师生、同学之间的情谊，培养积极的情感.我们看到，许多优秀的教师，他们的成功，很大程度上是与学生建立起了一种非常融洽的关系，相互理解，彼此信任，情感相通，配合默契.教学活动中，通过师生、生生、个体与群体的互动，合作学习，真诚沟通.老师的一言一行，甚至一个眼神，一丝微笑，学生都心领神会.而学生的一举一动，甚至面部表情的些许变化，老师也能心明如镜，知之甚深，俗话说“心有灵犀一点通”.没有“灵犀”不易通，有了“灵犀”，才能“一点就通”，这“灵犀”，就是我们的老师在长期的教学活动中，与学生建立起来的相互理解.