高中数学变形技巧在函数恒成立问题中的应用

郑桂芬

摘要：变形技巧是高中数学中常用的技巧之一.在数学解题过程中，学生对函数恒等式的变形，能有效简化复杂的题型，提高解题效率.

关键词：高中数学变形技巧恒成立

变形技巧是数学解题的重要工具.高中学生运用变形技巧的能力制约和影响了他们解题技能的高低，也是他们解题速度快慢的体现.在解题过程中，条件不充分或者条件的表现形式较为隐蔽的情况经常出现，在这种情况之下，变形的意义就被充分地体现出来，通过变形技巧的运用，将题目中分散的元素集中起来，将问题从复杂的形式转化为简单的形式.是一种将复杂问题简单化的手段，是解决数学问题的重要途径.

一、三角恒等变换技巧

1.三角函数变换的理论基础.三角函数是一个重要的基本初等函数.它是联系几何与代数的桥梁，也是一种描述周期现象的重要数学模型，在数学和各个领域中的作用十分重要.三角函数作为高中数学教学的重要内容，是数学基础技能训练的基础，也是数学教学的重难点部分.在三角函数教学中，三角函数的解题技巧是十分丰富的.同样，三角函数中的解题复杂性也是相当高的.三角恒等变换在整个初等数学中是关键的解题工具，而且三角公式众多，方法灵活多变.学生若能熟练掌握三角恒等变换的技巧，不仅能加深对三角公式的记忆和理解，而且能提高自己的逻辑思维能力.

2.三角函數变换的具体方式.对于含同角的三角函数式，变换函数名法，是指利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式来进行变换，通过“切割化弦”“切割互化”“正余互化”等途径将所需变换的式子中函数的种类进行减少或统一.从数学教学实质上来看，这是“归一”思想的运用，有利于问题的解决或者发现解题的途径.例如，利用常用公式进行三角函数名称的变换，常见的万能公式有：sinα=2tan（α2）1+tan2（α2）；cosα=1-tan2（α2）1+tan2（α2）；tanα=2tan（α2）1-tan2（α2）.将这三个公式的变换运用在三角恒等变换中，实现三角函数名称之间的变换，即可以解决很多三角函数问题.三角函数中函数名称的自由变化是三角函数的一个重要属性.在三角函数教学的初始过程中，学生即能掌握，但是在函数恒成立的证明问题上进行论证，学生则不能熟练运用这种方式进行解题.因此，帮助学生掌握变形技巧，对于学生证明函数恒成立的问题大有裨益.

二、二次函数恒成立变换技巧

1.二次函数恒成立变形技巧的理论基础.函数的变形没有固定的变形方法，其变形方法是多种多样的，但是在函数恒成立的证明过程中，通过对函数进行变形，往往具有事半功倍的作用.在函数恒成立中，一般会有两个变量，但是变量不影响函数成立问题.二次函数恒成立问题是高中数学中函数问题最重要的、也是最基本的工具之一.在函数恒成立问题中，许多问题本身就是可以转化为关于二次函数恒成立问题.因此，二次函数恒成立问题一直都是一个重点问题.同样，这一问题对于高中生来说也是一个难点问题.

2.二次函数恒成立的实证解析.将函数恒成立变为能成立命题，不仅能加深恒成立与能成立之间的联系，让学生了解这两种函数之间的区别与联系，也是实现数学教学中实践促进理论进步的重要内容.二次函数、 一元二次方程及一元二次不等式三者有着密切的联系， 一元二次不等式问题都能转化为二次函数或一元二次方程问题， 并借助二次函数的图象或一元二次方程的判别式解题.在求解二次函数时，通过将函数变形使参数与主元分离于等式的两端，实现函数求解的等式转化，这种方法本质还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强.下面通过例题进行简单分析：f（x）[f（x）]max；F（x）>g（a）（a为参数）恒成立，g（a）<[f（x）]min.通过函数恒成立的变形求证不等式的成立在方式上来看，相较于其他求证方式，是十分简捷的.此题中，函数恒成立问题的解决推导出不等式的成立，而解决不等式恒成立问题在近年高考试题中的比例在不断上升，解决不等式恒成立的方法之一就是构造适当的函数，利用相关函数的性质和特点来简化证明问题，而对函数进行变形，确定合适的变量和参数，正确地揭示出隐性的函数关系，则是解题的关键.

总之，函数恒成立在数学教学中意义重大.在数学教学中，教师要加入有关变形技巧的思想，以实现函数恒成立“化复杂为简单”.