用整体思想巧算代数式的值

钱霞

整体思想就是在研究和解决有关数学问题时，通过把握研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，对问题进行整体处理的思想方法.从整体上去认识问题，思考问题，常常能化繁为简，变难为易，同时又能培养大家思维的灵活性、敏捷性.整体思想在“整式乘法与因式分解”这一章中的主要体现形式有：整体代入、整体加减、整体代换等，下面我们就一起来看看吧.

例1 已知xy2=-1，求-xy（x3y7-3x2y5-y）的值.

【分析】本题根据条件显然无法求出x、y的值，只能考虑在所求代数式中构造出xy2的形式.

解：原式=-（xy·x3y7-xy·3x2y5-xy·y）

=-（x4y8-3x3y6-xy2）

=-x4y8+3x3y6+xy2

=-（xy2）4+3（xy2）3+xy2.

当xy2=-1时，

原式=-（-1）4+3×（-1）3+（-1）

=-5.

【说明】本题在处理单项式与多项式相乘的时候，也可以将-xy看成一个单项式，用-xy与多项式的每一个项相乘，再把所得的积相加.

例2 若m+[1m]=3，则m2+[1m2]的值是（ ）.

A.7 B.11 C.9 D.1

【分析】本題根据条件虽然是可以求出m的值，但代入求值时非常麻烦.那么我们就想到了将m+[1m]看成一个整体.利用完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，则（m+[1m]）2=m2+2m×[1m]+[1m2]，此处m×[1m]=1，再将m+[1m]=3代入即可.

解：∵（m+[1m]）2=m2+2m×[1m]+[1m2]，

又∵m+[1m]=3，m×[1m]=1，

∴32=m2+2+[1m2]，

∴9=m2+2+[1m2]，

∴m2+[1m2]=7.故选A.

【说明】本题比较灵活，首先由m+[1m]=3，求m2+[1m2]的值，想到将m+[1m]=3的两边进行平方，套用完全平方公式；其次这里利用到了一个隐含条件m×[1m]=1.

例3 若a、b满足（a+b）（a+b-2）+1=0，则a+b= .

【分析】本题可以考虑求出a、b的值，再代入计算a+b的值，但是我们发现只有一个方程，却有两个未知数，所以这里的a、b无法求出.经观察，我们发现此处可以将a+b看成整体，转化后等号的左边正好是完全平方式.

解：将（a+b）看成整体，原方程可化为：

（a+b）[（a+b）-2]+1=0，

（a+b）2-2（a+b）+1=0，

（a+b-1）2=0，

a+b-1=0，

a+b=1.

【说明】本题的处理结果正好是完全平方公式，所以可以求出a+b的值.大家可以思考，如果等号的左边不是完全平方式，你将怎样求出a+b的值，思考好后，试着完成下面的变式训练：若a-b=1，则求a2-b2-2b的值.

【分析】本题中由a-b=1，不能求得a、b的值，那么观察所要求的代数式a2-b2-2b，可以变形为（a+b）（a-b）-2b=a+b-2b=a-b=1.

解：原式=（a+b）（a-b）-2b

=a+b-2b

=a-b

=1.

【说明】本题是整体代入，在无法求出a和b的值的情况下，应处理所求的代数式，利用平方差公式将其变形出a-b这一整体；本题也可以将a=b+1代入，即原式=（b+1）2-b2-2b=b2+2b+1-b2-2b=1.

例5 已知a+b=7，ab=6，求a2b+ab2的值.

【分析】本题首先想到的是根据a+b=7，ab=6，求出a、b的值，再代入代数式中求得结果；但是经过分析可将a2b+ab2因式分解为ab·（a+b），再将ab=6，a+b=7整体代入可以使问题的解决更简单.

解：原式=ab（a+b），

当ab=6，a+b=7时，原式=42.

【说明】先将代数式因式分解，再通过整体代入是一种求代数式值的常用方法.

例6 将下列各式因式分解：

（1）（x2+1）2-10（x2+1）+25；

（2）16（x+4）2-9；

（3）a（a2-b2）-b（b2-a2）.

【分析】重温一下概念，因式分解：把一个多项式写成几个整式积的形式叫做多项式的因式分解.而因式分解首先要考虑的是提公因式，其次考虑套用公式，最后要检查因式分解是否彻底.对于（1）无公因式可提，将x2+1看成整体可先套用完全平方公式，之后再套用平方差公式；（2）无公因式可提，将（x+4）看成整体可套用平方差公式；（3）将其后面的因式b2-a2提取负号后可变为-（a2-b2），再提取公因式a2-b2，接着套用平方差公式.

解：（1）原式=（x2+1-5）2

=（x2-4）2

=[（x+2）（x-2）]2

=（x+2）2（x-2）2.

（2）原式=[4（x+4）2]-32

=（4x+16+3）（4x+16-3）

=（4x+19）（4x+13）.

（3）原式=a（a2-b2）+b（a2-b2）

=（a2-b2）（a+b）

=（a+b）（a-b）（a+b）

=（a+b）2（a-b）.

【说明】因式分解的步骤是：一提、二套、三查.我们解决因式分解的题型首先考虑的是提公因式，然后才考虑套用公式，并且一定要检查最后的结果是否已经分解彻底.

整体思想在代数式的化简与求值、解方程、几何解证方面都有广泛的应用，整体代入、整体运算、整体设元等都是整体思想方法在解数学问题中的具体应用，在以后的学习中大家要注意积累.

（作者单位：江苏省淮安外国语学校）