泛函分析全英文教学方法实践与反思

王丹龄　闵乐泉

泛函分析是在20世纪初期从数学分析中独立并发展起来的新兴学科，是整个分析数学中最年轻的学科之一[1-4]。它是研究无限维线性空间上的泛函和算子理论的一门数学，被誉为20世纪的微积分。但因其高度的抽象性，使得在教学过程中常常出现“学生难学、教师难教”的情形，再加上全英文教学使得该课程的讲授成为一项具有挑战性的工作。经过近年教学实践，对教学理念的更新做出如下几个方面的探讨。

一、充分利用数学语言与英语的相近性，培养学生阅读专业英文书籍与文献

的能力。由于我校数学专业的同学在大一大二的学习中，只经过大学基础英语的训练，具有一定的英语听说读写能力，但在课程设置中暂时还没有专业的相关课程。而在接下来的毕业论文又需要阅读一定的英文文献，因此本课程全英文教学不仅培养学生较强的抽象思维能力，逻辑思维能力，提高学生的数学修养，更为今后能够顺利阅读和学习英文专业书籍和文献打下基础。

二、注重培养学生的国际视野和竞争能力，探索实现高校教育与国际教育能

真正接轨的教学方法。随着数学专业毕业生选择出国深造的同学逐年增多，越来越多的高年级同学渴望获得更多的国外高水平院校同专业的发展现状。当中就包括主要专业基础课的讲授内容，授课方式，学习重点等等。这样不仅能帮助同学们了解本专业国内外教学的异同，也为将来继续深造打下基础。

泛函分析是20世纪30年代从变分法、微分方程函数论以及量子物理的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的问题，可以看做无限维的分析学。泛函分析在概率论、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的作用；它的观点和方法已经渗入到很多工程技术性的学科中。作为现代数学主体部分的泛函分析，是数学专业本科阶段的基础课程之一。

对于数学系的学生来说，学好泛函分析这门课程，既能加深理解前面已学知识（如数学分析、高等代数和解析几何），又能为以后进一步深造打下坚实的基础。同时为结合全英文教学并在有限的学时内尽量使同学们掌握该课程的经典理论：度量空间，完备性，赋范空间， Banach空间，线性泛函，对偶空间，内积空间，Hilbert空间，Banach不动点定理及其在线性方程、微分方程、积分方程方面的应用等。

泛函分析知识点很多，知识体系也较庞大，不能讲授过多或过难的内容，但又不能忽略泛函分析的重要内容。所选的内容基本上体现了泛函分析知识体系的完整性和严谨性，既突出了重点，有明显的层次结构，又能与数学分析等基础课程结合起来，起到延伸和拓展的作用。例如：极限作为数学分析中重要的概念及主要研究工具， 自然要被推广到泛函分析中去。由于极限概念是利用两点之间的距离来刻画的，这就要求必须先推广距离的概念，从而就有了距离空间。这样在距离空间中就可以用距离来刻画“收敛”了。那么距离空间之间映射的连续性概念也可以由函数的连续性概念推广而来。同时欧氏空间中的集合：开集、闭集等概念也随之推广。数学分析中的柯西收敛准则给出了数列收敛的等价条件，也就是说，在欧氏空间中任何基本列都收敛。那么任何距离空间中的基本列都收敛吗？ 答案是否定的， 于是就有了完备的概念，把具有上述性质的空间称为是完备的。我们将发现完备的空间具有非常好的性质。数学分析中还有致密性定理， 即任何有界点列都有收敛子列。那么对一般的距离空间也有这个定理吗？没有，所以就有了列紧的概念。如果一个距离空间或它的子集具有这样的性质，我们就称或是列紧的，列紧的闭集称为自列紧集。

数学课给同学们的印象往往是深奥，抽象，再加上全英文教学，更让同学们望而生畏。所以为了使泛函分析全英文教学能达到良好的教学效果，首先要活跃课堂气氛，在课堂教授基本概念，理论时，尽量抓住本质，对其来龙去脉加以说明。对于数学专业的同学来說，经过前几个学期数学分析，高等代数等课程的学习，已有一定的数学基础，将泛函分析与先修数学基础课进行对照，让同学们加入讨论，鼓励不同观点的争论。

学好泛函分析这门课程，既能加深理解前面已学知识（如数学分析、高等代数和解析几何），又能为以后进一步深造打下坚实的基础。那么如何去学习它呢？泛函分析可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。它是对古典分析的基本概念和方法的一般化，以及对这些概念和方法的几何化。学习该课程时，应将其中的内容与古典分析中的相关概念、方法加以对比，从而来理解、学习它。在教学中，我们分析了古典分析和泛函分析之间的关系，介绍如何从古典分析中的一些概念、定理和方法出发，加以推广、一般化或几何化，从而引人泛函分析中的相关概念。例如欧氏空间中的元素之间是可以进行运算的，而在实际问题中，这种运算也是很有必要的。那么在一般的由抽象元素组成的集合中如何进行运算呢？能不能在集合上定义某些简单运算，比如说线性运算，来达到元素间的运算目的呢？于是就有了线性空间的概念，带有线性运算的集合称为线性空间。在欧氏空间中我们用向量的模来表示向量的长度，那么在线性空间中能不能类似的定义元素的“大小”呢？于是便引人了范数。定义了范数的线性空间称为赋范线性空间， 完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。

泛函分析全英文教学，不仅使学生掌握泛函分析的基本概念，抽象思维方法和严密的逻辑思维能力与推理论证能力，体会泛函分析在实际问题中的重要应用，还要培养学生对于专业英文文献的学习能力。

参考文献：

[1]E.Kreyszig，Introductory Functional Analysis with Applications，John Wiley &Sons，1978.

[2]L. V. Kantorovich and G. P. Akilov， Functional Analysis in Normed Spaces（translated by A. P. Robertson），Pergamon Press，1964.

[3]刘曙云，郭瑞平，李元左，工科研究生“应用泛函分析”教学的几点思考[J].大学数学，2011，27（1）：203-206.

[4]石智，赵君平，泛函分析课程教学点滴[J].教育教学论坛，2015，5（18）：177-178.