汲取真题营养 提高复习效率——谈数学复习教学中对高考真题资源的利用

□冯 寅

（浙江省湖州中学，浙江湖州 313000）

复习指导

汲取真题营养 提高复习效率
——谈数学复习教学中对高考真题资源的利用

□冯 寅

（浙江省湖州中学，浙江湖州 313000）

高考试题不仅是考题，也是一种对考纲的诠释，更是我们教学的优质素材，所以挖掘高考真题的教学价值非常重要，它可以明确复习的方向，提高复习效率.

高考真题；复习效率；整体；问题；个体

高考试题是考纲、教纲的具体体现，是由命题老师精心雕琢的作品，也是数学知识、技能的浓缩，更是展现数学方法、数学思维的舞台.因此，充分挖掘高考题的内涵，汲取它的“营养”，将使我们的教学和复习更有针对性，效率更高.

本文将以函数为例，从整体、问题、个体三个方面，探索高考真题的“营养”究竟在何处，如何汲取它的“营养”.

一、整体归纳 探求规律

高考试题是对考试大纲的具体演绎，研究多年的高考试题，我们可以发现命题的一些特点，找到复习的方向.

函数是高中数学的重要内容，也是高考的重点，从近几年的高考函数试题中我们发现，函数问题的重要元素是参数，主要工具是导数，所以，我们可以按参数的不同和求导的特点把函数问题分为三大类型加以研究.

（一）含参求导型

问题1 已知a∈R，函数 f(x)=x3-3x2+3ax-3a+3.

（1）求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

（2）当x∈[0，2]时，求|f(x)|的最大值.

问 题 2 已 知 a＞0，b∈R,函 数f(x)=4ax3-2bx-a+b.

（1）证明：当0≤x≤1时，

①函数 f(x)的最大值为 |2a-b|+a；

② f(x)+ |2a-b|+a≥0；

（2）若-1≤f(x)≤1对x∈[0，1]恒成立，求a+b的取值范围.

感悟 这类问题主要是求函数最值、求参数范围和证明不等式恒成立，它主要针对三次函数、对数函数、指数函数等，它的主要方法是利用极值点含参数的特点分类讨论，利用端点函数值和极值点函数值的不确定性分类讨论.

（二）含参非导型

（1）求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围；

（2）①求F(x)的最小值m(a)；

②求F(x)在区间[0，6]上的最大值M(a).

问 题 4 已 知 函 数 f(x)=x2+ax+b（a,b∈R），记M(a ,b)是 |f(x) |在区间[- 1,1]上的最大值．

（1）证明：当 |a|≥2时，M(a ,b)≥2；

（2）当a,b满足M(a ,b)≤2时，求 |a|+ |b|的最大值.

感悟 这类问题由于涉及的函数是一次、二次和绝对值居多，所以一般不需要求导，它主要解决的是参数范围和函数零点问题，主要通过函数图象特点、函数性质分析来解决问题.当参数较多时，我们一般会考虑是否可以减少变量或采用线性规划的方法解决.

（三）非参求导型

证明：

感悟 这种类型看似简单，其实对思维的要求比较高，首先要理解所证明不等式的特点，它可以构造新的函数或把要求证明的不等式转化为我们常见的函数最大（小）值问题来分析思考，而在求极值时往往它的极值点不易求出，需要我们通过不等式放缩来改变函数从而解决问题，它考查的是函数的本质属性.

图1

二、问题演变 借题发挥

函数的内容丰富多彩，问题形式多样，函数最大（小）值问题是函数的重要性质，也是高考中的常见问题，但最值问题的形式和要求在不断的演变，它对我们的思维提出了新的要求.

（一）跨越思考

问题6 如图1，在△ABC中，AB=BC =2，∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点 D，满足PD=DA,PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是_____.

感悟 解决最值问题的起点应该是确定函数的表达式，而像此类问题的体积很难用某个变量表示，如何计算体积成为本题的关键，此时如果我们不跨越常规思路，问题很难解决.

设AD=x，四面体的高为h，那么h≤x.那么，四面体 PBCD的体积：VP-BCD=

此题的解法有违于我们常规的求最大值的方法，它在很难直接找到问题的表达式时，先进行了放缩，这在一般情况下是有风险的，它可能使等号无法取到，所以问题的难度就在于放缩的合理性，它需要满足两个要求，首先是放缩后能求出问题的表达式，然后再考虑后面的等号是否能成立，因此放缩的关键是找到一个合理的度满足要求.

（二）概念理解

问 题 7 已 知 函 数 f(x)=x2+ax+b (a,b∈R)，记M(a ,b)是 |f(x) |在区间[- 1,1]上的最大值．

（1）证明：当 |a|≥2时，M(a ,b)≥2；

（2）当a,b满足M(a ,b)≤2时，求 |a|+ |b|的最大值.

感悟 这题是近几年考查函数最值问题的一个典型问题，它对最大（小）值概念的理解要求很高，从已知最大值到求最大值都需要深刻理解才能合理解决.

（2）中 由 M(a,b)≤2，得 |1+a+b|= |f(1)|≤2 ， |1-a+b|= |f(- 1)|≤2 ， 故|a+b|≤3 ， |a-b|≤3 ，而 得 |a|+ |b|≤

当 a=2，b=-1时， |a|+ |b|=3，且|x2+2x-1|在 [-1,1]上的最大值为2，即M(2,-1)=2.所以 |a|+ |b|的最大值为3.此题解决最值问题的方法，颠覆了传统的求最值的思路，它省略了求函数解析式的步骤，强调了最大（小）值的概念的理解，它关注的是存在常数M，对定义域中的任意x都有 f(x)≤M成立，然后观察等号成立.它的难点在于没有常见的分类讨论，没有烦琐的计算，要求对概念的深刻理解，要求有正确的思维方式.

（三）隐含挖掘

问题8 已知实数a,b,c,则（ ）.

感悟 本题看似和最值毫无关系，仔细分析题意，我们从每个选择支的结构可以看出，它的问题都是a2+b2+c2≤100，问题的核心是哪个条件能保证a2+b2+c2是有界的，有界就是最值的一种广义表述.而要a2+b2+c2有界必须a,b,c是有界的.这样的感悟，就将问题转化为哪个选项中的a,b,c是有界的.

但细细体会它的核心还是和最值有关，它把最值问题扩大化，让我们在不叙述最值的情况下感悟最值的意义和魅力，这样的感悟对思维提出新的要求.

三、个体研究 经典深化

在近年的函数的高考题中，我们经常看到max和min这样的符号，而简单介绍符号的意义并不难，难的是深刻理解它们的含义，了解它们的变化，掌握它们的联系，如果我们仅仅停留在知道符号的意思，那么当我们遇到和它们有关的问题时，还是会觉得难以适应.

（一）max和min的形式变化

问题9 已知 f(x)，g(x)都是偶函数，且在[0 ,+∞ )上 单 调 递 增 ，设 函 数F(x)=f(x)+g(1-x)- |f(x)-g(1-x)|.若a＞0，则（ ）.

A.F(-a)≥F(a)且F(1+a)≥F(1-a)

B.F(-a)≥F(a)且F(1+a)≤F(1-a)

C.F(-a)≤F(a)且F(1+a)≥F(1-a)

D.F(-a)≤F(a)且F(1+a)≤F(1-a)

感 悟 理 解 函数 F(x)=f(x)+g(1-x) -|f(x)-g(1-x)|的表达式成为问题的关键，其实，为了把绝对值去掉，我们可以分类讨论，这样也可以理解为一个分段函数：

从去绝对值的分类过程，我们又可以理解为：F(x)=2min{ f(x),g(1-x)}.这样的表达，将有助于我们解决问题.

问题的本质就转化为比较F(a),F(-a)的大小和F(1-a),F(1+a)的大小.

很多时候max和min都直接出现在我们的问题中，但有时也会以另外的面貌出现，隐含它们的符号特征，这就需要仔细分析思考它们的含义，找出它们的表示特征来解决问题.

（二）max和min的应用策略

问题10已知a＞0，b∈R.函数f(x)=4ax3-2bx-a+b.证明：当0≤x≤1时,函数 f(x)的最大值为 |2a-b|+a.

感悟 解决函数在闭区间上的最值问题，关键是比较区间内极值点和端点的函数值的大小.

对函数 f(x)=4ax3-2bx-a+b求导得f'(x)=12ax2-2b.

（1）当b≤0时，f'(x)=12ax2-2b＞0，在区间[0 ,1]上 f/(x)＞0恒成立，故函数 f(x)在[0,1]上单调递增.

所以当x∈[0 ,1]时,fmax(x)=f(1)=3a-b= |2a-b|+a；

从上述的问题我们发现，max{a ,b}和min{a ,b}有如下重要的等价变形.

这样的变形把分段函数和含绝对值的函数有机地整合在一起，不同形式的转换为我们解决问题开拓了新思路.

高考试题蕴含着丰富的“营养”，是我们教学中的优质素材，挖掘高考试题的深刻内涵并渗透在我们的教学中，将使高考试题发挥它最大的价值.