养成习惯 克服定式——谈数学解题过程中因定式造成的偏差校正

□吴志鹏

（德化第一中学，福建德化 362500）

养成习惯 克服定式
——谈数学解题过程中因定式造成的偏差校正

□吴志鹏

（德化第一中学，福建德化 362500）

数学解题过程中的定式包含思维定式，图形定式，解题的方向、顺序、步骤、模式、方法等多种类型的定式.要克服定式造成的解题偏差，应养成良好的审题、作图、解题、思维、反思等习惯.

定式；解题偏差；习惯

定式是指由先前的活动造成的一种对活动特殊的心理准备状态或活动的倾向性，在环境不变的情况下，定式使人能够应用已掌握的方法迅速地解决问题，而在情境发生改变时，它则会阻碍人采用新的方法，束缚人的创造性.

在数学解题过程中，定式是如何产生的呢？它是通过对一类问题或方法，作多次定向的强化训练，使得学生能“一见如故”地产生条件反射，不自觉地应用已有的结论或相似的方法解决问题.数学解题过程中的定式包含有思维定式，图形定式，解题的方向、顺序、步骤、模式、方法等多种类型的定式，在条件不变的情况下，定式确实对解题起到很好的帮助作用；可在条件发生改变，哪怕是微小的变化，定式有可能造成解题方向的偏差.要克服定式造成的解题偏差，应养成下面几种习惯.

一、应养成良好的审题习惯

例1甲去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00～17：00，设甲于当天13：00～18：00之间的任一时刻去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理储蓄业务的概率为（）.

分析 变量的维数是判断问题是何种几何概型的关键，再利用“一维空间线段比、二维空间面积比、三维空间体积比”求相应概型的概率.本题的变量是时间，很多学生在题目中发现两个时间误认为是二维变量而用面积比进行求解.这是错误的，错误在于存在“两个时间即是二维”这种定式思维.其实银行的营业时间9：00～17：00并非变量，而甲当天13：00～18：00之间的任一时刻去银行，这个时间才是变量，理解了这一点，易知本题乃一维型的几何概型，其概率为甲去银行能办理业务的时间长度4小时与甲去银行的时间长度5小时的比值即4∶5，选择D.

例2（由2015年山东高考题改编）在区间[0,2] 上 随 机 取 一 整 数 x，则 事 件发生的概率为（ ）.

分析 大部分学生选择错误的答案A，造成解题偏差的原因是：学生见到题目中的区间[0,2]以及不等式化简的结果得x所在的区间为联系几何概型的概率可用区间的长度进行表示，并由此而产生的定式，即用几何概型求解，得到的错误结论.本题实际为古典概型，即在区间[0 ,2]取一整数有0、1、2三种情况，而满足条件的只有0、1两种情况，所以P=，选择B.

上述两例均是由概念或条件的相似或相近而引发的定式导致的解题偏差，因此在解题时，应锻炼学生在接收题目信息时，不急于作出判断，把一些数或式的特征不假思索地联系起来，而要先花时间去阅读、审题，厘清知识要点，少一些“先入为主”的思想.克服定式造成的解题偏差应养成良好的审题习惯.

二、应养成良好的作图习惯

∴f(x)min=f(10)＜0，

∴f(x)仅有两个零点.

观察学生对已知函数求导后作出的草图，即只有一个极小值点，且极小值小于零的图象为图1，从图象可直接获得 f(x)的图象与x轴仅有两个交点，即仅有两个零点.这是一个典型的由开口向上二次函数的图象的形态特征产生的图形定式造成的解题偏差，实际上函数有唯一极小值点且在x轴的下方，此时函数图象，有如图1到图4四种情形而不仅仅是图1的情况.

图1

图2

图3

图4

由此本题的解答还应做以下的补充：

∴f(1)×f(10)＜0.

∵x∈(1,10)，f(x)的图象单调递减，∴x∈(1,10)，f(x)有唯一零点.

同理：

f(10)×f(e4)＜0.

∵x∈(10,e4)，f(x)的图象单调递增，

∴x∈(10,e4)，f(x)有唯一零点.

综上可得，f(x)仅有两个零点.

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要克服图形造成的定式，在平时作图训练时，即使是作草图也必须谨慎对待而不能随意马虎，特别是图形有多种情况时，作图时更应该做到“心中有形”.如椭圆、双曲线不能只作焦点在x轴上的图形，而抛物线也不能都作开口向右和向上的图形，这样很容易造成图形定式，导致解题时出现偏差，因此要克服之，就必须养成良好的作图习惯.

三、应养成良好的解题习惯

例4执行如图5所示的程序框图，输出的结果为（ ）.

A.5 B.6 C.7 D.8

分析 记录每一次运算结果得：①n=8，i=2；②n=31，i=3；③n=123，i=4.不少学生运算到第三次时，就不再往下运算即获结论i=5，选A.这是错误的，正确的答案应为B.导致解题偏差的原因是学生在做算法问题时，对程序结束判定认识的定式，即当n=123不满足算法结束，那么下一次运算即可满足，基于这样一种认识的定式，而造成的解题偏差，实际上因为 n=123是3的倍数，再一次运行得n=119，算法并未结束.因此要克服定式造成的解题偏差，就必须规范解题，不急于下结论，应养成良好的解题习惯.

图5

四、应养成良好的思维习惯

例5两户人家A，B在马路CD的同侧，且分别距马路CD是4千米和5千米，AB相距7千米，现从马路上接电到A、B，问电线至少要多长？

分析 对于这样的问题，大部分的学生会类比下面的数学问题进行求解：A，B两点在直线CD的同侧，且到直线CD的距离分别为4和在 CD上 找 一 点 E，使 得的值最小，并求最小值.即作点A关于直线CD的对称点A′，连接BA′交直线CD于一点，此点即为我们所求作的点E，此时取得最小值为.本题是由熟悉的几何原型引发的定式导致解题的偏差.这是一种模型范式的定式，解题时如不加以思考，套用之就会出现解题方向的偏差.这是一个实际问题，拉电线并不一定从CD上的一点直接拉到A，B两点，本题应转化成“在锐角三角形ABE内求一点，使得这一点到三个顶点的距离之和最小”[1]，如图6所示，这一点为三角形的费尔马点，即这一点对三边的视角均为120°，找一点O，过O点，OH⊥CD且∠AOB=∠BOH=∠AOH=120°，由此算出距离之和的最小值（结果为10.5）.有兴趣的读者可自行解决.解题时利用定式进行方法类比，要注意条件是否发生变化，模式是否恰当、合理，这样才能克服定式造成的解题方向的偏差，因此养成良好的思维习惯是很有必要的.

图6

五、应养成良好的反思习惯

例6 f(x)=log2(x2+ax-a)的值域为R，求实数a的取值范围.

分析 大部分学生会把真数x2+ax-a＞0恒成立与真数取到一切大于零的实数作等价处理，即Δ=a2+4a＜0，得-4＜a＜0.要克服这类由于思维方向定式造成的解题失误，平时解题训练时要有意识地让学生在解完题时进行及时的反思，对“等价”转化进行必要的质疑，如可取a=-2代入进行检验，得 f(x)=值域为[0,+∞)而非R，因此这个解法是错误的.

即(ax-1)(x-b)＞0的解集为(- 1,1)，

转化得(ax-1)(x-b)=0的根为-1和1，

即ax2-abx-x+b=0的根为-1和1.

所以a+2b=-1或a+2b=1.

本题利用“不等式的解集可转化为方程的根”这一思维定式解决问题，反思这一转化是否有条件限制？如果“(ax-1)(x-b)＞0的解集为(- 1,1)”与“(ax-1)(x-b)=0的根为-1和1”是等价的，那么“(ax-1)(x-b)＜0的解集为(- 1,1)”与“(ax-1)(x-b)=0的根为-1和1”是否也会等价？如等价，上述的两种情形有无区别，又如何进行区别？反思之，可得本题“不等式的解集与相应方程的根”等价是有条件的，还有必要完善，即保证a＜0，所以结论为{a=-1，得a+2b=-1.因此要克服定式造b=1，成的解题偏差，还应养成良好的反思习惯.

［1］郑馨春.数学解题中的策略性错误分析［J］.数学教学，2008（5）：27.