“突破常规”别样解题也精彩——从一道高考立体几何复习题谈起

新疆大学附属中学(830000)

常晓兵●



“突破常规”别样解题也精彩
——从一道高考立体几何复习题谈起

新疆大学附属中学(830000)

常晓兵●

立体几何是培养学生空间想象能力最有力的工具,也是高考的重要考点,空间向量为解决立体几何问题提供了一个十分有效的工具.因此人教版数学选修2-1第三章“空间向量与立体几何”对此进行了专题研究.但在实际教学中笔者发现：目前高考的立体几何问题一般分为两小问，第一小问多为空间中各种几何元素的位置关系的问题；例如：要求证明线面垂直、面面垂直、线面平行等等；而第二小问多为求二面角、空间距离的问题.由于题目的固定性，导致解题方法也比较固定，一般学生在解决第一小问通常采用传统方法，即利用学习过的判定定理、性质定理及各种推论；解决第二小问一般采用建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角与二面角的关系求解.但笔者也发现，目前理科的立体几何题目的出题者有意识的在加大难度.调整考察角度，如下题：

题目 如图，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，∠EAC=60°，AB=AC=AE.

(1)在直线BC上是否存在一点P，使得DP∥平面EAB？请证明你的结论；(2)求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角θ的余弦值.

笔者分析：本题第一小问涉及到动点P的位置的确定，学生对该类题目的解答不太熟悉，若采用传统方法解题，势必落入作多条辅助线的困境，对学生的空间想象能力的要求较高；而标准答案也是采用了传统方法解答.第二小问求二面角的平面角的余弦值，大多数学生都会采用建系的方法，利用空间直角坐标系解答.从表面上看这样做是比较合理的，但实际在解题过程中会发现，这样做就落入了出题者的陷阱，大量的计算使学生疲于应付.最终笔者引导学生尝试第一问就建系，看看能否解决问题：于是就说，谁能解决第一小问.此时只有甲同学举手，以下是她的解答过程.

此时有同学提出这样的证明不完备，理由是甲同学事先如何知道P为BC的中点？

笔者抓住这个契机，就问大家那么怎样解决这个问题呢？从甲同学的证明过程看，点P的确满足题目的要求啊！此时乙同学举手说到，应该设点P的坐标为(x,y,z),利用题目給出的条件解出坐标的值.笔者接着问：“点P的坐标有三个未知数，需要三个方程，那么请同学们找出三个方程解出坐标的值，这时有同学提出解不出来，条件不够；乙同学又说：点P在xoy平面内它的竖坐标为0.大家的情绪又被调动起来了，这时只需要两个方程就可以解出来了.笔者给同学们几分钟的时间讨论，突然同学丙举手说：老师，点P在直线BC上，能否利用直线的方程找到x与y的函数关系，这样就只需要一个方程.但有同学提出，在空间中的直线方程没学过啊！丙同学说：直线BC就在平面xoy内，能否在平面直角坐标系中建立x与y的函数关系，然后求解.

事实上标准答案对该题目的解答，第一小问是利用构造平行四边形EDPF，利用线面平行的判定定理来证明的，由于要做的辅助线较多，学生不易找出解题思路；甲同学利用空间直角坐标系解决问题是被迫无奈，同学们发现这样证明信服度不够，最终在大家的努力下利用空间向量的方法解决了问题，第一问是这道题目的难点所在.笔者利用学生的疑问一步一步地将同学们引入到我事先想好的解题思路中来，通过对该题目的解答，同学们有了新的思路，解答立体几何问题不因思维定势，正所谓方法得当，事半功倍.

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1008-0333(2017)10-0051-01