尺规作图题新走向

文 /朱广科

尺规作图题新走向

文 /朱广科

中考作图题已不局限于对基本作图技能的考查，取而代之的是一批立意活泼、设计新颖、富有创意的作图题．该类作图题大都联系生活实际，要求学生必须进行多方位、多角度、多层次探索，以检验思维的灵活性、发散性、创新性．现以2016年中考试题为例，就各种创新题分类说明，供你复习时参考．

一、图形剪拼型

例1（2016年荆州卷）请用割补法作图，将一个锐角三角形经过一次或两次分割后，重新拼成一个与原三角形面积相等的平行四边形（只要求用一种方法画出图形，把相等的线段作相同的标记）.

解：如图1所示．

图1

AE=BE，DE=EF，AD=CF.

点评：解答剪拼问题需要进行多方位、多角度、多层次的探索，能培养思维的灵活性、发散性和创新性.

二、图形变换型

例2（2016年昆明卷）如图2，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．

图2

（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形；

（2）请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形；

（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．

图3

图4

责任编辑：王二喜

解：（1）如图2所示.

（2）如图3所示.

（3）找出A的对称点A′（-1，-1），连接BA′，与x轴交点即为P，如图4所示，点P的坐标为（2，0）．点评：观察并挖掘变换条件，根据图形的性质得出对应点位置.

三、利用网格的特征作图

例3（2016年温州卷）如图5，在方格纸中，点A，B，P都在格点上．请按要求画出以AB为边的格点四边形，使P在四边形内部（不在边界上），且P到四边形的两个顶点的距离相等．

（1）画出一个▱ABCD；

（2）画出一个四边形ABCD，使∠D=90°，且∠A≠90°．

解：（1）如图5．（2）如图6.

图5

图6

点评：利用网格线的结构特征和相似三角形对应边成比例找出对应点.

四、开放探究型

例4（2016年广安卷）在数学活动课上，老师要求学生在5×5的正方形ABCD网格中（小正方形的边长为1）画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与AB或AD都不平行．画四种图形，并直接写出其周长（所画图象相似的只算一种）．

图7

图8

图9

图10

点评：对于结论不确定的问题，解题思路不同，推导深入程度不同，将得到不同的结论，它们均可作为问题的答案.

五、阅读理解型

例5（2016年连云港卷）光反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射角等于入射角.如图11，AO为入射光线，入射点为O，ON为法线（过入射点O且垂直于镜面的直线），OB为反射光线，此时反射角∠BON等于入射角∠AON.

图11

问题思考：（1）如图12，一束光线从点A处入射到平面镜上，反射后恰好过点B，请在图中确定平面镜上的入射点P，保留作图痕迹，并简要说明理由；

图12

（2）如图13，两平面镜OM、ON相交于点O，且OM⊥ON，一束光线从点A出发，经过平面镜反射后，恰好经过点B.小昕说，光线可以只经过平面镜OM反射后过点B，也可以只经过平面镜ON反射后过点B.除了小昕的两种做法外，你还有其他做法吗？如果有，请在图中画出光线的行进路线，保留作图痕迹；

图13

问题拓展：（3）如图14，两平面镜OM、ON相交于点O，且∠MON=30°，一束光线从点S出发，且平行于平面镜OM，第一次在点A处反射，经过若干次反射后又回到了点S，如果SA和AO的长均为1m，求这束光线经过的路程.

图14

解：（1）如图12，作A关于平面镜ML的对称点A′，连接A′B交ML于点P，则点P为所求.

证明：如图12，作PN⊥ML，

∵A与A′关于ML对称，∴∠1=∠2，

∵∠2+∠3=90°，∠1+∠2+∠3+∠4=180°，

∴∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4，

∴AP是入射光线，PB是反射光线，即P为入射点．

（2）如图13，作A关于OM的对称点A′，作B关于ON的对称点B′，连接A′B′，分别交OM、ON于点P、Q.光线的行进路线为A→P→Q→B.

（3）如图14，光线的行进路线为S→A→B→C→B→A→S.

∵∠SAN=∠OAB=∠MON=∠30°，∴OB=BA，

∴这束光线经过的路程为：SA+AB+BC+CB+BA+AS=

点评：理解光的反射定律与轴对称关系，正确作图是解题的关键.