巧用构造函数法证明不等式*

华南师范大学数学科学学院(510631) 黄紫敬

巧用构造函数法证明不等式*

华南师范大学数学科学学院(510631) 黄紫敬

本文主要以十二道《数学通报》征解问题的另证为例,说明如何通过观察题目结构特征构造凸函数,从而利用琴生不等式解题.

不等式 构造函数 琴生不等式

分式不等式的证明灵活多变,技巧性非常强,构造函数法是证明分式不等式的有效手段之一.利用构造函数法来证明不等式实质上是对凸函数性质的应用,其关键在于找到恰当的凸函数.本文主要以十二道《数学通报》征解问题的另证为例,说明如何通过观察题目的结构特征构造凸函数,从而利用琴生不等式解题.

一、直接构造

例1(《数学通报》2045号数学问题)x,y,z＞0,且x+y+z=1.求证:

整理即得原不等式成立.

在例1中,题目中有已知条件“和为1”,其实,即使是题目中没有已知条件“和为1”,对于具有轮换对称性质的不等式证明,我们也可以构造条件“和为1”,从而利用琴生不等式简化解题.

证明待证不等式具有轮换对称特点,不妨设x+y+z=1,则待证不等式

易得f(a)是(0,1)区间的上凸函数,由琴生不等式即得原不等式成立.

二、巧用不等式变形

用构造函数法证明不等式的关键在于选择恰当的函数,前面例子题目结构特征非常明显,可以直接构造函数解题.而对于结构特征不太明显的题目,我们可以通过均值不等式巧妙对已知条件进行变形,从而利用构造函数法解题.

易得f(x)是(0,1)上的下凸函数,再由琴生不等式可得待证不等式成立.

三、借助变量代换

前面我们介绍了如何通过均值不等式对已知条件进行变形,从而利用构造函数法解题.其实,对于更为复杂的不等式证明题,我们还可以通过变量代换方法简化证明.

例5(《数学通报》1752号数学问题)已知a,b,c＞0,证明:

四、利用推广的凸函数性质

对前面例子中的单向不等式,琴生不等式发挥了巨大的作用,它实质上是对凸函数性质的应用.而对于形如M1≤F(a1,a2,...,an)＜M2或M1＜F(a1,a2,...,an)≤M2的双向不等式,我们也可以通过对琴生不等式进行推广,从而利用构造函数法解题.

[1]王毅,朱琨.琴生不等式的推广应用[J].数学通报,2009,03:61-62.

*本文受华南师范大学研究生创新项目资助.