圆与动点问题(二)

◎唐小平

(甘肃省陇南市武都区两水中学，甘肃 陇南 746010)

圆与动点问题(二)

◎唐小平

(甘肃省陇南市武都区两水中学，甘肃 陇南 746010)

所谓数学中的“动点问题”即数学中的“动点型问题”，就是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、弧线或者曲面上运动的一类开放性题目.此类问题注重对几何图形运动变化能力的考查，一般都具有一定的难度，所以，它每年备受各个省(市、区)中考的青睐.下面通过几个具体的例子加以说明.

图1

例1 如图1所示，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的取值范围是( ).

A.3≤OM≤5 B.4≤OM≤5

C.3

解 由于M是弦AB上的动点，所以M可以与A、B重合，也可以与A、B不重合.

连接OB，则OB=5.

在Rt△OBM′中，∠OM′B=90°，OB=5，BM′=4，由勾股定理知OM′=3.

根据“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”知3≤OM≤5.

∴本题选A.

图2

例2 如图2所示，⊙I分别切△ABC的边于点D，E，F，∠B=70°，∠C=60°，点M是优弧DEF上的动点(与D，F不重合)，∠DMF的大小一定吗？若一定，求出∠DMF的大小；若不一定，请说明理由.

解 当点M是优弧DEF上的动点(与D，F不重合)时，∠DMF始终是劣弧DF所对的圆周角，所以∠DMF的大小一定.连接ID，IF.

∵⊙I分别切△ABC的边于点D，E，F，

∴AD⊥ID，AF⊥IF，即∠ADI=∠AFI=90°.

∵∠B=70°，∠C=60°，

∴∠A=180°-(∠B+∠C)=50°.

又∵∠A+∠ADI+∠DIF+∠AFI=360°，

∴∠DIF=360°-(∠A+∠ADI+∠AFI)=360°-(50°+90°+90°)=130°.

例3 如图3所示，一个圆柱体的底面直径为10 cm，高AB为4 cm，BC是上底面的直径.有一只蚂蚁从圆柱下底面的A点出发沿着圆柱的侧面爬行到C点，求蚂蚁爬行的最短路程.

图3

图4

分析 将蚂蚁看作一个点，蚂蚁是在圆柱的半个侧面上爬行的，如果将这半个侧面展开(如图4所示)得到矩形ABCD，那么根据“两点之间，线段最短”可知所求的最短路程就是侧面展开图中矩形的对角线AC的长.

例4 如图5所示，已知圆锥的底面半径为3，母线长为9，C为母线PB的中点.一只蚂蚁从A点出发沿着圆锥的侧面爬行到C点，求蚂蚁爬行的最短路程.

图5

图6

解 根据题意可知圆锥的底面圆周长是6π.将蚂蚁看作一个点，蚂蚁是在圆锥的侧面上爬行的.

甘肃省教育科学“十三五”规划2016年度《初中数学动点问题分析研究》课题(课题立项号：GS[2016]GHB0653)成果.