◎杨 林 赵 绚
( 1.运城职业技术学院基础部,山西 运城 044000;2.运城师范高等专科学校数计系,山西 运城 044000)
积分计算的教学设计
◎杨 林1赵 绚2
( 1.运城职业技术学院基础部,山西 运城 044000;2.运城师范高等专科学校数计系,山西 运城 044000)
本文坚持“以应用为目的,以必需、够用为度”的原则,从目前高职学生的实际基础和实际需要出发,在内容的取舍和阐述方法上做了大胆的探索.
分层;分类;底层必选;中层限选
在分层、分类、分专业高职数学改革的思想指导,本文以高等数学中定积分的换元法为例,简单介绍下改革的思想(底层必选部分).
我们回顾教材中介绍定积分的计算方法,教材分别从定积分的概念、意义、N-L公式来引入计算.
1.依据定义构造出一个特殊的和式极限来求定积分,虽和式的极限形式好看,但好看并不好用,也就是求积分结果是件困难的事情,而当被积函数在给定闭区间上为可积函数时,可以用特殊的分法,及ξi特殊的取法,来求和式的极限,对于简单的被积函数,如,f(x)=x或f(x)=x2等函数,能求出积分结果,但并非简单.
3.根据牛顿-莱布尼茨公式,先求出被积函数的一个原函数,再求原函数在上、下限处函数值之差,这是简便有效的方法,具有普遍适用性.因此,它是计算定积分的基本方法,学习者应该掌握.
【反思与启迪】不定积分已经解决了如何求全体原函数的问题(注意并非全然解决),当然能求出一个原函数,因此,可以利用第三种方法求出相应的定积分.
【问题驱动】中国人的收入正在逐年提高,据统计,深圳2002年的人均收入为21 914元人民币,假设这一人均收入以速度v(t)=600(1.05)t元/年增长,这里t是从2003年开始算起的年数,估算2009年深圳的年人均收入是多少?
比较两种方法,虽求得结果相同,但后者无须回代还原不定积分变量x,过程较前者简化.需注意:
(1)引入新变量x=φ(t)必须单调;
(2)使t在区间[0,2]内变化,x在[0,4]内变化,且当x=0时,t=0,当x=4时,t=2,即0=φ(0),4=φ(2);
(3)换新变量时,必须改变积分上下限,简称换元必换限.
严格地,有关定积分的换元积分法定理如下:
定理 (1)f(x)在区间[a,b]上连续;
(2)x=φ(t)在区间[α,β](或[β,α])上单调,且φ′(t)也连续;
(3)t∈[α,β](或[β,α]),x∈[a,b]且a=φ(α),b=φ(β).
我们可以做以下几点反思:
(1)换元积分法公式使用必须满足题目的所有条件,否则使用会导致错误.
(3)换限前下限要小于上限,换后也可能下限大于上限.
(4)定积分换元积公式与不定积分换元积分公式是平行的,即:
(5)换元必换限,凑元不换限.
【问题驱动回归】分析 这是由已知增长均函数求总量均函数的问题,是经济学中的收入预测问题.
解 因为深圳年人均收入以速度v(t)=600(1.05)t元/年增长,由变化率求总改变量的方法,这7年间年人均收入的总变化为
≈5006.3元.
所以,2009年深圳的人均收入为21 914+5 006.3=26 920.3元.
本文是按照高职数学改革的总体思路设计的,在分层、分类、分专业高职数学改革的思想指导下,在知识层面上采取底层必选(高数必备知识)、中层限选(按专业方向限选)、高层自选(按学生发展方向)的方式进行组织教学.主要是满足底层必选的“应用数学”部分,也有可供选择的部分,并结合应用向导及上机操作完成课堂内容.
[1]杨林,赵绚.复合函数知识的设计[J].科学中国人,2016(6):352.
[2]高建.提高“微积分”课堂教学质量的几点思考[J].中国大学教育,2008(1):35-37.