顺势而为，让数学探索更具魅力

李政

利用不完全归纳法探索新知，是小学数学课堂上常见的教学思维方式，如何基于或构成学理进行数学的深理解和真思维呢？笔者以为，教师在探索活动中基于学情和学理“顺势”而为，改善数学教育“生态”，是提升数学课程实施品质的必然选择，也是学生持续学生好数学的根本保证。

一、顺势就是基于学情和学理展开数学探索

在一定意义上讲，多数时候的数学学习活动都是具有探索性。然而，有不少的数学教师对“数学活动具有探索性”认识不够，设计和实施的探索性活动也就简化为先举一个例子，然后再举多个例子验证，并流于形式，使得数学探索虚化、乏力，学生参与其中逐渐形成不良的学习感受。其实，数学探索过程是有“势”可言的。

小学数学既是儿童的，也是数学的。在笔者看来，所谓的“势”即学情的态势和学理的趋势。任何一个具有探索意义和价值的数学主题，对学生而言都不会是零基础，零水平；对学科本身而言，也不会是零关联、零发展、如果我们认识到这些“态势”、“趋势”的存在，并为已所用，那学生参与探索过程就能充满愉悦和收获。

例如，教材对规律、运算律、计算公式等知识习得的编排隐含或遵循不完全归纳法的思路，这是在是因为考虑到小学生的年龄还小和认知能力水平有限以及教材只能短篇幅地呈现主要内容的原因，但教师不应“只见树木，不见森林”甚至眼里就只有一堆堆木材。我们需要基于学情和学理展开数学探索，杜绝“循规蹈矩”、“隔靴挠痒”甚至“逆流而动”的常见做法。

二、运用不完全归纳法顺“势”而为

获得必要的数学理解和思维，是我们展开探索活动的真正目的所在，而不完全归纳法知识探索真知的一种方法、技术和手段。学生数学素养的积淀、能力水平的提升、思维方式的改善，需要依靠“势”的可为和能为，“势”的锻造和滋养。

1.让“不完全归纳法”搭配上深度的演绎

乘法分配律的教学，一直都是教学难点。它的生成过程，就是举例验证，举更多例子不完全归纳的过程。如果能来些演绎的色彩，归纳的力量就更显强大。

教材提供的教学思路是借助不完全归纳法“发现”它“是什么”，至于“为什么”却悬而未决。乘法分配律的观念实质是“c×（a+b）分成c个加a加c个b”和“c个a加c个b配成c×（a+b）”，这需要让学生感知和理解。结合乘法与加法之间的转换关系和算式的变形，让学生体会“分”与“配”的思想，理解“为什么”，而后再自我反思全过程，获得“为什么”的发现。具体流程如下：上述教学，学生只有经历了发现层面的理解过程，把握了“分”与“配”的思想内涵，也就是学生对乘法分配律有了总体的直觉认识以后，形成“c×（a+b）分成c个a加c个b”和“c个a加c个b配成c×（a+b）”的观念，他们才算真正理解了乘法分配律。从这个意义上讲，深度演绎是对学生不完全归纳的点化和提升。

2.让“不完全归纳法”有“根”可言

从四年级开始，教材各册都设置了“找规律”单元，引导学生探寻现实生活中一些简单的数学规律，并应用规律解决相关的实际问题。然而教师习惯于根据课本习题的类型分别展开教学，造成学生做“找（间隔排列）规律”题目时也往往是先判断题目中物体排列类型封闭与否，如果是封闭图形，两种物体个数就相等；不封闭的还要看两端物体是否相同，两端相同则两种物体个数就悬殊1，两端不同则物体个数就相等。很明显，到了学生那里，对知识的理解和应用是分裂、剥离的。

其實，我们可以把封闭图形进行整合，以无规律排列的情况为起点，以“一一对应”为核心思想展开教学，主要分步实施和突破，这种教学改进，顺着学科体系原理和学生思考状态，较好地做到了以学定教，让“不完全归纳法”有根基可言，拥有了来自土壤中根部的力量。

3.让“不完全归纳法”富有魄力并重的内涵

大家一直以为，平行四边形面积计算的教学简单、浅显，即使教学水平差一点儿的老师来教，也能不费吹灰之力让学生探究出计算公式或理解接受。其实，两个重要问题容易被忽视，并得不到解决，一是，为什么不可以用“底乘邻边”，常见教学思路中有的只是对“底乘高”的证明，而没有对“底乘邻边”证伪（可能会有人讲不证自伪）；二是，对二维空间矢量相乘意义的拓展理解的缺位（教材即使为了培养学生推理所需没有安排，但我们完全可以在不完全归纳之后进行补充）。这两个问题对学生有着重要的学习意义。

实际上，生活世界和数学世界所有两个数量的相乘，都是二维空间矢量的相乘，都可以看成是“排数×排数=总数”的扩展和变化，“底×高”也不除外。针对学生认知基础“出发”和“归来”，考虑到“底”“高”这两个维度对教学尝试改进和整合。至此，借助不完全归纳法“涅槃”，发展了思维能力，拓宽了认知视角，“思想嫁接”也成功地在学生的直观认知世界中“落巢”。

4.让“不完全归纳法”享有进退自如的空间

学生在对三角形面积计算公式推导有了“求一个，想两个”思想支撑的基础上，脑中进行剪和拼，很容易推想出梯形面积计算公式。这使得改善数学教育的“生态”状况成为可能，并且一切都显得顺理成章、水到渠成。

梯形面积计算公式的常见的教学思路是分两个板块进行的，一是让每个学生照两个完全一样的梯形拼成平行四边形，同时做好数据收集和记录。然后交流梯形与平行四边形之间关系，推导出面积计算公式，还可以进而在不同剪法上做文章；二是尽可能地解决书后练习，甚至把两课时的练习任务合并为一节课解决掉。

要谈有问题，几乎没有。因为梯形相对特殊（有两个底），学生即使不理解，也容易记住。更何况有前面学习三角形面积计算公式的优厚基础。既然教师月学生都意识到这个问题，那就要充分满足学生脑中剪、拼、推想和空间讲一讲平行四边形、三角形与梯形之间的某种联系呢？

突出学生的主体性需要，加强知识之间的搭建和联结，具体改进流程如下：上述教学改进，学生自由地推想出梯形面积的计算公式，教师为其演示验证，让学生乐不吱声，尤其是增设的环节，“三种图形的转换与公式的演变”直接叫学生大呼神奇不止，连连发出啧啧的惊叹声。此时数学教育的“生态”是平的，还是立的？是板化的，还是鲜活的？

笔者对“顺‘势而为，让数学探索更具魅力”这一话题的持续关注与累积研究，只是为了一个朴素本真的想法，也就是希望自己能让学生对待数学学习有一个号的学科感受，不艰深、难懂但有必要，不肤浅，容易但见深刻，好的数学学习感受应该就是这个样儿。