估算做得多思维自然活

张清华

教师们常说：估算既难教又难学！但是，实际教学中教师一面抱怨估算教学的困难，一面并没有重视估算教学，估算教学普遍都未落到实处。这是教师对估算的理解、认识不足造成的，估算在提升学生数学思维能力、培养学生数学核心素养上可以有更大的作为。

一、估算是儿童成长的内在需要

学生天生爱探究，但小学生又喜欢凭直觉进行跳跃式的思考，并喜欢快速找到结论。这是小学生好胜的心理特征和直观的思维特征决定的。而估算具有简便、快速、整体、直觉和跳跃性的特点，这很符合小学生的心理状态。所以，从估算的特点看，学生会比较喜欢。我们来看两个教学实例：

1.鸡兔同笼，数数头14只，数数脚30只，鸡和兔各有几只？

这道题的数据不复杂，是接触鸡兔同笼问题的入门题目。教师往往会带着学生们用假设法找出答案。如果我们先让学生估一估，教学起来会不会更轻松呢？因为14×2=28，与30很接近，所以本题一定是两只脚的鸡只数很多，四只脚的兔只数很少。多了估算这一步，学生就可以从“鸡多兔少”的角度来假设。稍稍一试，就知道13只鸡和1只兔就是答案。因为题中的数据小、直观，易激发学生自发地去估算，多做这样的估算，假设法将变得有的放矢，学生也容易接受。如果没有估算，学生虽然知道要用假设法一步一步去推算，但只知其然，不知其所以然，费时费力效率低，学生会觉得索然无味。

2.一本书的中间被撕掉一张，余下的各页页码之和正好是1000，撕掉的那一张是第几页？

此题高年级的学生可以用等差数列求和公式计算，做起来不难。若用常规思路，低年级小学生将难以完成，但估算方法变一变，就给学生打开了方便之门。一个三年级的学生说：这本书的全部页码之和要比1000大一些，估计最大页数不会超过50页。我用计算器从1开始顺着往后加，加到45就等于1035，超过1000了，所以，撕掉的是17和18页；若再加到46，和是1081，撕掉的是40和41页，但页码40和41不在同一张纸上……再往后加，发现已经超过最高页数了。所以，答案只能是第17和18页。其他学生一听，连说：真简单，我也来试试。这个问题就这样解决了。

上面的估算过程不仅直观有效，问题也变成了正向的推算，所以，学生体验到：估算简单，估算有趣。只要估算方法是符合儿童心理特征的，估算就成了学生的内在需要。

二、估算是发展思维能力的需要

在小学，学生需要掌握几种具体的估算方法：进位法、去尾法、四舍五入法以及看成整十整百数等。单一的估算方法并不难，但学生的困难在于，面对综合的实际问题该如何确定估算策略？是往大估、往小估还是四舍五入？

例如，学校图书馆有12个书架，每个书架能放48本书。如果问题是这些书架大约能放多少本书？就适合用“四舍五入”法；若问这些书架够放600本书吗？就适合往大估，把48看成50；若问这些书架够放480本书吗？就适合往小估，把12看成10。

学生在寻找估算策略的过程中是在不断地进行比较、判断、推理等思维活动的，所以，估算的过程就是学生提升数学能力、积累活动经验、培养估算意识的过程。估算的过程是开放的、动态的，估算的结果也是不唯一的，这正是传统的计算教学和应用题教学（传统的应用题给出的条件不多不少，正好与问题匹配）所缺失的。所以，加强估算教学是提升学生思维的灵活性、开放性、创新性的重要途径。

学生估算意识的形成还为数学的逻辑推理提供了支撑，提升了思维的深刻性。例如，教学《圆的周长》，一般的教法是教师指令学生统一去测量圆的周长和直径，这种测量只动手未过心，经学生测算，周长可能是直径的2倍多、3倍多、4倍多……

我们来对比一下由估算引出的探究过程：教师从我国最早的数学著作《周髀算经》中的“周三径一”是什么意思引入，“周长真的是直径的三倍吗？”这立刻激起了学生强烈的探究欲望。我们可以先用几何直观的方法去探究、去估算，如下图：

显然，从图中可以直观地估算出：正六边形的周长<圆的周长<正方形的周长，因为正六边形的周长=直径的3倍，正方形的周长=直径的4倍，所以，直径的3倍<圆的周长<直径的4倍。

然后，学生再去测量验证，就使测量有了明确的方向和精确度，避免了操作的空泛、表面化。估算意识促进了理性和感性的结合，促进了学生自主、深刻地建构圆周长的意义，这种建构是一个充满激情的、开放的、理性的生成过程。孔子曰，不愤不启，不悱不发。显然，传统的单一指令学生测量的教学与先估后量的教学不论在学生的情感体验和数学化体验上都相去甚远。

估算提升了学生的思维能力，没有估算意识的头脑就会缺少思维的灵活性、深刻性、创新性等，就会降低思考过程的整体质量。

三、估算是联系生活和数学的需要

长期以来，数学给人的印象是抽象、枯燥、高高在上，学得多，用得少。这是因为传统的数学教学内容单一、过深、过难、脱离实际。新教材以“情境化”的呈现方式力求沟通数学与生活，新课标力求把学生培养成懂数学，会生活的人。

生活离不开估算。开车行驶在高速公路上，我们常常要估一估离目的地大约还有多远，油箱里大约还有多少油；买一处新居，我们常常要先估算一下每个房间大约多大等等。生活中的很多统计量都只是一个近似值，而解决现实生活中的很多问题并不需要算出精确值，往往只需要估算出大致的结果，即使求精确值，也离不开估算，如笔算除法要用估算帮忙试商，我们还常用估算检验结果的合理性。所以，估算很实用。

除了实用，估算更重要的内在价值是丰富了数学的内涵，开阔了数学思想，促进了数学的问题解决。如前所述，估算提升了学生的思维能力，更促进了学生直觉思维的发展，为问题解决快速找到灵感。笔者曾给五年级的学生出过一道难题：某车间每天能生产甲种零件500个，或者生产乙种零件600个，或者生产丙种零件750个。甲、乙、丙三种零件各一个配成一套，现要在30天内生产最多的成套产品，问甲、乙、丙三种零件，各应生产多少天？此题的一般解法是列方程组。对于五年级的学生而言，列出方程难，解出方程更难。

奇特的是，几个学生迅速地给出了正确答案。他们是这样想的：因为每种零件各一个配成一套，要生产最多的成套产品，每种零件的数量就要同样多。把30天分成3个10天，但500×10、600×10、750×10肯定不相等，所以，500要乘多一点的天数，750要乘少一点的天数。再用几个数字试一试，很容易得到500×12=600×10=750×8，所以甲、乙、丙各应生产的天数分别是12天、10天、8天。

虽然这样解题带有一定的偶然性，但学生当时的表现很精彩——学生有很强的数感和估算意识，他们思想开放，跃过一步一步推理，凭直觉直接抓住问题的核心。数学家庞加莱说：“逻辑用于证明，直觉用于发明。”牛顿、爱因斯坦都是抓住直觉，做出伟大发明的典范。显然，估算教学是落实新课标理念、培养学生良好的数感和推理能力的重要途径。

估算就像一股充满活力的新鲜血液，帮助学生完善了对数学的认识，形成了更灵活的数学思维。以前，我们认为数学是“丝丝入扣、分毫不差”，现在，我们要认识到：“千真万确”的是数学，“模糊大约”的也是数学。数学教育不是刻板的、单一的、精准的“智力”，而是充满温情的、开放的、生动的“智慧”。

（作者單位：华中科技大学同济医学院附属小学）

责任编辑 陈建军