一题多解是培养学生数学核心素养的一种手段

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摘 要：本文通过一道例题解答谈谈一题多解在落实数学核心素养中的作用.

关键词：一题多解；核心素养

作者简介：邢森栋（1983-），男， 中学二级教师，主要从事数学教学与数學解题的研究.

数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等数学核心素养是数学课程目标的集中表现，它在学生自主发展中发挥不可替代的作用，是在数学学习过程中逐步形成的.数学核心素养包含具有数学基本特征的思维品格和关键能力，是数学知识、技能、思想、经验及情感、态度、价值观的综合体现.

作为一线教师，笔者常常思考如何在课堂教学中有效发展学生的核心素养？从平凡的日常教学中思考落实新理念的方法，在数学的教学中寻找发展学生数学核心素养的途径，应成为思考的基础出发点.数学离不开解题，本文就通过对例题的一题多解来谈一谈笔者对于核心素养在课堂教学中落实的思考.

一、问题解析

问题 已知等差数列{an}，公差为d，满足a21+a23=10，求a4最大值.

上述问题，看似求单变元a4最值问题，实际是a1+3d的二元最值问题，我们要通过现象抽象出本质.二元问题一般先考虑利用条件消去a1+3d中的a1或d，转化为单变量函数最值问题，本题较复杂不好转化，我们考虑其它想法.

解法1 数形结合（线性规划）

a4=-12a1+32a3，故可转化为线性规划问题：已知实数x，y满足x2+y2=10，求-12x+32y的最大值.（解略）.

评注 本解法实际就是将看似数列问题抽象概括为线性规划问题.数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中.数与形看似对立，实则统一.当要求的目标函数有比较明显的几何意义，或经过等价转化后式子中产生有几何意义的部分，我们可以考虑用线性规划解决.例如：目标函数为|x+y-2|，可将其转化为2·|x+y-2|2，原问题就转化为可行域内的点到直线x+y-2=0距离的2倍，当然本例也可分类讨论解决.在数学教学活动中，注重抽象能力的培养，有利于学生更好的理解数学的概念、命题、结构和系统，有利于学生在其他学科的学习中化繁为简，理解数学学科的知识结构和本质特征.

解法2 换元法

令a1=10cosθa3=10sinθ（θ∈[0，2π）），通过待定系数法得a4=-12a1+32a3=-1210cosθ+3210sinθ=5sin（θ-φ）≤5，当且仅当sinθ=310，cosθ=-110时取等号.

评注 事物间是普遍联系的，有时两者间的表面上毫无联系，实际是隐隐中联系着的.题目中已知和未知之间的关系比较复杂，我们可以引入一个中间量，利用中间量起到纽带的作用改善这种复杂关系.看到△2+◇2=a2转化为（△a）2+（◇a）2=1，联想到cos2θ+sinθ=1这个模型，就可以进行三角换元了.

解法3 主元法

（a4-3d）2+（a4-d）2=10化简得5d2-4a4d+a24-5=0，关于d的方程有解，故△≥0，-5≤a4≤5，所以（a4）max=5 .

评注 方程是沟通已知变量和未知变量的桥梁.主元法是通过不同的角度看待题中的参数，构造与问题相应的二次方程，考虑方程在实数集R上有解利用Δ≥0求解最值.若变量a1>0，d>0，考虑△≥0，就有问题.因为△≥0只能保证方程有解，而不一定有正数解，解题时使用该法要慎重.本解法实际上就是二次方程有实数解Δ≥0这一模型的实际应用.

解法4 配方法

a21+a23=10化为a21+2a1d+2d2-5=0.a24=（a1+3d）2+λ（a21+2a1d+2d2-5）=（1+λ）a21+（6+2λ）a1d+（9+2λ）d2-5λ.令△=（6+2λ）2-4（9+2λ）（1+λ）=0，解得λ=0（舍）或λ=-5.

所以a24=（a1+3d）2+λ（a21+2a1d+2d2-5）

=（1+λ）a21+（6+2λ）a1d+（9+2λ）d2-5λ

=-4a21-4a1d-d2+25

=-（2a1+d）2+25

≤25，-5≤a4≤5.

评注 从整体考虑问题，借助待定系数法令△=0解出相应系数，这样的操作必然会使多项式配成完全平方，再利用不等式放缩获得关于a24的不等式.灵感来自圆系方程和△=0时二次方程有等根.解题时要学会知识的迁移，这就要求我们要从整体认识数学课程，因为知识和知识之间不是孤立的，而是普遍联系着的. 本解法实际上就是二次方程有两个相等实数解△=0这一模型的实际应用.培养学生的建模素养，有利于学生养成从整体的角度思考问题和解决问题的习惯；有利于学生养成数学应用意识，提升学生数学应用能力.有利于学生感悟数学与现实世界的联系，认识数学的价值，提升学生学习数学的兴趣和解决现实问题的自信.

解法5 不等式法

（1）基本不等式法

a24=（-12a1+32a3）2.

即4a24=a21-6a1a3+9a23=10+8a23+6（-a1）a3

=10+8a23+6（-ka1）a3k

≤10+8a23+6k2a21+a23k22

=10+（8+3k2）a23+3k2a21.

令8+3k2=3k2，得k2=3.于是4a24≤10+9a23+9a21=100，-5≤a4≤5，所以（a4）max=5（当且仅当a1=-1a3=3时取到）.

（2）柯西不等式法

（14+94）（a21+a23）≥（-12a1+32a3）2=a24，当且仅当a1-12=a332，即a1=-1a3=3时取等号.

评注 逻辑推理是得到数学命题、构建数学体系的基础.在解决较为复杂问题时，我们要有预见性，这样才能使问题中的隐性关系显性化.对于一个问题，未知与已知之间的关系有时是比较显性的，解题就比较顺畅；而有时又是隐性的，解题就比较坎坷.我们利用逻辑推理就可以结合基本不等式和柯西不等式改善求解目标的结构后便于解题. 逻辑推理是科学素养的思维核心.一个人具有逻辑推理的素养，就可能会理性地观察、理解和解释周边事物.在数学教学活动中，逻辑推理素养的养成，有利于学生理解数学结论的来龙去脉，形成举一反三的能力；有利于学生形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维习惯；有利于学生提升探究事物本源的能力；有利于学生形成创新意识，提升创新能力.

二、问题启示

二元最值问题一般解法可归纳为：消元法，换元法，不等式法，主元法，和线性规划，配凑法等，主要用到方程思想（主元法），函数思想（消元法，换元法），等价转化思想（不等式法、配凑法），数形结合思想（线性规划）.这需要我们平时解题时选用恰当的方法，更要加强经验积累，并做好解题后的反思，因为解题思想来源于实践又对实践有指导作用.当然这类问题在高等数学范围内就是条件极值问题，我们可以用拉格朗日乘数法，这里就不加叙述了.

美国著名数学教育学家波利亚说：“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面.使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域.”因此，在日常解题教学中可以通过例题的一题多解一方面使学生在原有认知基础上进行再认知，深化理解知识间的联系，从而达到复习知识，提升能力，优化已有知识网络结构的目的；另一方面，可以让学生体会站在系统的高度上看问题给解题获取思路带来的便利.在一点一滴的积累过程中，提高学生对数学的理解，借助数學学科发展学生的核心素养.

数学教学应体现学生的主体参与，不要教师一讲到底，因为“告诉我，我会忘记；分析给我听，我可能记住；如果让我参与，我会真正理解”.教学不仅要授鱼，更要授渔，通过一题多解，激发学生内心深处的创新意识，使得学生有创新的冲动，化被动为主动，就是说教学还要授人以渔.核心素养的养成不是一朝一夕之功，需要教师在数学教学过程中，引导学生站在系统的高度用联系的观点看待教材各章节的知识，整体把握知识框架，做透教材中的例题，习题，体会蕴含其中的解题技巧，思想方法，从而冲破题海，提高学习效率.当然，数学的核心素养不仅仅是掌握知识点和技能，更重要的是在知识学习中表现出的人格特征和智慧特征，是学科内在和潜在价值、精神和文化在学生身上的体现.

本文若能给您带来一些启发，笔者将倍感欣慰.