阻尼振动中阻尼系数的研究

赵云

摘 要：在传统的大学力学教材与其他有关力学知识的书中，对于阻尼振动中阻尼系数的研究已屡见不鲜，并且有许多学者与老师都对此进行了分析和研究，并取得了不错的理论结果，但只是利用了传统的试验方法来测定阻尼振动中的阻尼系数，在文章中，利用实验测得的数据进行数值拟合来计算空气阻尼和磁阻尼的阻尼系数，得出了令人满意的结果，与传统实验手段比较起来更为准确。

关键词：阻尼系数；阻尼振动；空气阻尼；磁阻尼；曲线数值拟合

中图分类号：O32 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2017）12-0187-04

Abstract： In the traditional teaching materials of mechanics in colleges and other related books， there are many studies on the damping coefficient in damped vibration. Besides， many scholars and teachers made analysis and research on it， and obtained good theoretical results. However， they only used traditional test method to measure the damping coefficient. This paper calculates the air damping and magnetic damping coefficient through numerical fitting of experimental data， and obtains satisfactory results， which are more accurate compared with the traditional experimental method.

Keywords： damping coefficient； damping vibration； air damping； magnetic damping； numerical fitting for curves

一、数据的曲线拟合

工程技术实践中， 特别是在实验测试中， 往往只能得到两个相关变量的离散值， 函数关系就只得用列表法或图示法表示。但在实际操作中人们希望把这种关系转换成解析表達式。另外，有些变量间的关系虽然可以用解析法表示，但由于数学解析式过于繁杂造不便，也希望用一个简单的解析表达式作为近似替代以到达目的。利用简单解析式？准（x）近似地代替列表法、图示法或复杂解析式表示的函数F（x）一类问题，即寻找一个满足？准（x）=F（x）的简单函数？准（x）的问题，都可称之为函数逼近问题。数据拟合法就是函数逼近的重要方法之一。

科学实验或数据统计中，在得不到精确解析表达式时，希望找到Y=F（x）的近似解析式F（x）≈？准（x），？准（x）越简单越好。在这种情况下，我们提出了数据拟合法，它不要求构造的近似函数？准（x）全部通过样本点，而是“很好的逼近”。这种近似函数？准（x）反映了已知数据组间存在着某种关系的一般趋势，是“拟合”这些数据得出的函数曲线，不同于“插值”得出的曲线。寻找“很好的逼近”的函数有多种方法，我们常用的是最小二乘法。在MatLab中，有专用的拟合指令p=polyfit（x，y，m），可以方便地给出结果，我们便利用实验得到的数据结果利用拟合方法得到拟合曲线。

二、模型

对于存在阻尼力的情况下，阻尼振动方程为：

（1）

其中，？啄、？棕0分别为系统的阻尼系数和固有频率。方程（1）的解为：

其中，A0、？渍分别为弹簧振子的振幅、初始相位角，而？棕j=2？仔/T，T为阻尼振动周期

（3）

由方程（2）可得其速度与时间的关系式为：

这为我们的实验测量提供了理论依据，所有公式都与t有关，因此只需要记录时间，周期即可。

三、无磁阻尼时空气阻尼的阻尼系数的研究

测量弹簧振子振动时的阻尼系数，进而求得时间常数？子及品质因数Q等物理量。假定振动为线性振动，且空气阻尼很小。滑块质量为179.70g，振幅为30cm。由实验测得弹簧振子振动连续10个周期的数据，见表1。

利用Matlab计算10个周期测量值的算术平均值、实验平均值的标准误差。

hp代表算术平均值， s为平均值的实验标准误差：

输出结果：

hp = 1.2689

s= 4.9889e-005

即：T=1.26890×10-5（s） 。

取初始位移x0=-A=-30cm，初始速度为v0=0cm/s，并通过放置在平衡位置的电子计数器记录下连续10个周期中，一个周期从正方向v1和反方向v2通过两次平衡位置时光电门的速度。

表2中，t1（T），v1（cm/s）分别是沿正方向运动时，通过平衡位置的光电门的时间和速度：

v1=0.032136t2-2.3349t+146.4178

t2（T），v2（cm/s）是沿负方向运动时，通过平衡位置的光电门的时间和速度：

v2=-0.021055t2+2.1588t-145.8269

四、阻尼系数？啄

由方程的解（4）式编制程序计算理论上时间与速度曲线， 同时将两拟合曲线绘制在同一幅图中。

绘制出弹簧振子时间与速度曲线图1与2。其中实线、点线是由实验上得到向正方向、负方向通过平衡位置光电门的时间与速度数据拟合的曲线， 实线是由方程（3）所得到。？啄为阻尼系数，画图时不断地调试，当？啄=0.017s-1时， 理论上曲线通过平衡位置时的速度与两拟合曲线基本吻合， 即两按拟合曲线正是速度曲线的包络线。

通过对？啄的多次取值估计，重复多次计算画图，得出满意阻尼系数，使得理论线与拟合曲线基本吻合，如图1所示，结果证明上述理论与实验结合的方法是可行的。同时，我们还得到时间常数和品质因数：

时间常数 （5）

品质因数 （6）

但是我们从图2看出拟合曲线并没有很好的与理论实线相吻合，放大后观察到还有不相交的部分，即不完全包络，原因在于拟合曲线是一次直线，结果并不令人很满意。

v1=0.032136t2-2.3349t+146.4178；v2=-0.021055t2+2.1588t-145.8269

无论？啄怎么调整，对于放大的图像来看，总不可能全部包络速度峰值，只是尽可能平衡，这说明仅仅调整？啄是不够的，还要考虑阻尼与速度二次方的关系。

在M文档中所建立阻尼系数与速度二次方的函数关系式，对？啄进行多次调试，结果如图3与图4所示，通过对阻尼与速度二次方关系的讨论，所得结果分别与图1和2比较，拟合曲线与速度峰值吻合度更高，阻尼系数也更精确，为？啄=0.0145。

v1=0.032136t2-2.3349t+146.4178；v2=-0.021055t2+2.1588t-145.8

269。

五、研究磁阻尼情况下的阻尼系数

在滑块两侧对称地粘贴上永久小磁块，此时由于磁阻尼力的作用，使振动振幅衰减更快。在此时测量的阻尼系数，仍假定振动为线性振动。滑块质量为191.06g，振幅为30.00cm。由实验测得弹簧振子连续振动10个周期的数据，见表3。

计算10个周期测量值的算术平均值、实验平均值的标准误差：

输出结果：

hp =1.2998

s=4.5826e-005

即：T=1.2998±5×10-5（s）。

在实验时取初始位移x0=-A=-30cm，初始速度为v0=0cm/s。

我们记录下连续10个周期中，一个周期从正方向和反方向通过两次平衡位置时光电门的速度。

表4中，t1（T），v1（cm/s）是向正方向运动时，通过平衡位置的光电门的时间和速度：根据上述数据编程拟合出t1（T），v1（cm/s）的關系式：

v1=0.049482t2-3.6731t+141.5108

t2（T）、v2（cm/s）是向负方向运动时，通过平衡位置的光电门的时间和速度：

输出结果：

pvt2=-0.037352t2+3.5008t-141.0681。

由上述结果可得v2与t2之间的关系为：

v2=-0.037352t2+3.5008t-141.0681

阻尼系数：

由阻尼振动方程（3）式的解，编制程序计算理论上给出的时间与速度曲线，同时将两拟合曲线绘制在同一幅图中。程序中的vn1即v1，vn2即v2。

绘制出弹簧振子时间与速度曲线，见图5。其中点划线、点线是由实验上得到向正方向、负方向通过平衡位置光电门的时间与速度数据拟合的曲线，实线是理论方程所得到的曲线。将？啄调整为？啄=0.028s-1时，理论上曲线通过平衡位置时的速度与两拟合曲线基本吻合。

v1=0.049482t2-3.671t+1.41.5108；v2=-0.037352t2+3.5008t-141.0681

如图5、6所示，我们得到了基本吻合的拟合曲线，放大后观察，不论？啄如何调整，仍没得到满意的效果，那么就要考虑与速度二次方的关系。

我们得到图像7，此时？啄=0.025s-1。在磁阻尼作用情况下与空气阻力情况相类似，只有当讨论阻尼系数与速度二次方的关系时，才能得到更精确的？啄和更加吻合的图像。

我们之所以利用通过平衡位置光电门的速度求上述各量，是因为准确测量振幅的衰减较困难，而测量速度很容易。在此实验设计中，从理论上编程到实验数据测量，可以将理论课的知识与实验有机统一起来。反复调试？啄的取值，使得拟合曲线与理论曲线吻合，得到最后的？啄=0.025s-1。

v1=0.049482t2-3.671t+1.41.5108；v2=-0.037352t2+3.5008t-141.0681。

六、结束语

通过数据拟合的方法和在Matlab中的具体应用，并将实验得到的数据进行计算利用Matlab进行数据的拟合，过程中不断地对阻尼系数？啄调整，使得拟合曲线与理论曲线很好的吻合，从而得出了更精确的阻尼系数的值，并且进一步提高理论与实验结合的能力与水平，使得理论计算不仅仅是单纯的计算研究，具有更加现实的意义。

参考文献

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