浅谈二次函数与线段最值问题

张骏峰��

摘 要：中考的压轴题通常是函数搭台，几何唱戏。初中所学函数就是将生活中的实际问题转化为数学问题，即构建函数数学模型的有效载体，特别是二次函数；而数形结合思想是分析、解决问题的关键。有关线段最值问题与二次函数的综合是中考压轴题中的常客，它让很多同学束手无策，望而生畏，实际上解这类试题关键是要理清题意，将线段最值问题借助相关的概念、性质与思想，进而转化为相应的数学模型进行分析，利用典型的基本图形加以解决，常常会事半功倍！

关键词：二次函数；线段最值；转化；数形结合；基本图形；数学模型

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）24-109-1

初中二次函数的线段问题综合题中，涉及到的类型通常有：1.直接求线段的长或用含字母的式子表示线段的长；2.根据题中给出的线段关系求相应字母的值；3.求多边形周长、面积的最值。其中求三角形或四边形周长、面积的最值，一般要将其转化为求某线段长的最值或利用两点之间线段最短来求最值。

让学生理解并掌握在二次函数背景下借助基本图形研究線段最值问题的方法；在分析解决问题的过程中体会数形结合与转化等数学思想；在这过程中培养学生构建二次函数模型并借助基本图形解决最值问题的意识及能力是至关重要的。在此，笔者结合自身一些教学实践，就“二次函数与线段最值问题”方面，谈一谈自己的一些做法。

一、求竖直线段长的最值问题

这类问题通常是过抛物线上的一动点作x轴的垂线（或y轴的平行线），且与某直线相交于一点，以确定两点之间长度关系的形式出题。解决此类问题时，一般要将线段问题转化为点的坐标问题，根据抛物线和直线上点的横坐标相同，设这两点的横坐标，从而得到这两点的纵坐标，然后用含字母的式子表示两点间的线段长，特别是遇到线段最值问题时，一般要结合二次函数求最值的方法，将二次函数解析式配成顶点式或利用公式求最值。

具体图形如下图所示：“在题目中已知直线l：y=12x+1与x轴、y轴分别相交于点A和点C。抛物线y=-2x2-72x+1的图象交x轴于A、B两点（B在A右边），点P是直线AC上方的抛物线上一动点（不与A，C重合），设P点的横坐标为m，过点P作y轴平行线交直线AC于Q点，求线段PQ的最大值。”

如何求线段PQ的最大值呢？首先要分析：如果想要线段PQ的最大值，必须明确P、Q两点的坐标，可以用含有m的式子表示P、Q两点的坐标，通过观察，容易发现P、Q两点的横坐标相同，说明线段PQ是一条竖直线段，然后再利用竖直线段长=y上-y下求得PQ=-2m2-4m，接着可以结合二次函数求最值的方法，将二次函数解析式配成顶点式PQ=-2（m+1）2+2，然后求得最大值为2。

二、求水平线段长的最值问题

若将上题的问题改为：过点P作x轴平行线交直线AC于N点，求线段PN的最大值呢？通过观察，容易发现P、N两点的纵坐标相同，说明线段PN是一条水平线段，可以利用水平线段长=x右-x左将PN用二次函数求最值的方法求得最大值为4。

值得探究的是水平线段PN的长与竖直线段PQ长有内在联系吗？过点P作y轴平行线交直线AC于Q点，稍作思考就不难发现，tan∠PQN=tan∠OCA，所以PNPQ=OAOC=2；即PN=2PQ，从而容易求得线段PN的最大值为4。由此可知：求水平线段长的最值问题可转化为求竖直线段长的最值问题。

三、求斜线段长的最值问题

若将上题的问题改为：求P点到直线AC距离的最大值。同样的问题，斜线段PH的长与竖直线段PQ长有内在联系吗？过点P作y轴平行线交直线AC于Q点，再由sin∠PQH=sin∠ACO可知PH=255PQ。

进而求得线段PQ的最大值为455。由此可知：求斜线段长的最值问题可转化为求竖直线段长的最值问题。

四、求三角形周长的最值问题

若将上题的问题改为：作PD⊥x轴于D点，交AC于Q点，作PH⊥AC于H点，求△PQH周长的最大值。显然，求三角形周长的最值问题可转化为求竖直线段长的最值问题。

五、求三角形面积的最值问题

这类求多边形面积问题通常转化为函数关系问题。解题技巧一般是过特殊点作x轴或y轴的垂线，将所求面积进行分割，再将面积问题转化为线段问题，构建函数模型，通过二次函数的增减性求得相应的最值。

若将上题的问题改为：连接PA，PC。求△PAC面积的最大值。过点P作y轴平行线交直线AC于Q点，故S△APC=S△APQ+S△QPC=12PQ·（xP-xA）+12PQ·（xC-xP）=12PQ·（xC-xA）=12PQ·OA，显然，求三角形面积的最值问题也可转化为求竖直线段长的最值问题。

这种转化的思想，借助基本图形的方法，在初中数学几何证明题中屡见不鲜，若能掌握了这一解决技巧，就能以不变应万变，提高初中数学学习的效益，进而减轻学生的学习负担，让学生在面对星罗棋布的习题时能够游刃有余，随机应变，真正实现了素质教学减负增效的要求。当然有些问题还有其他好的解法。我想：无论是基本图形的积累，还是建模思想的渗透，解题的方法因人而异，固定一个模式，有利有弊，模型的小船说翻就翻！