巧用方法来求值

刘帅

【摘 要】代数式的求值是初中代数中的重要内容之一，是学好数学的一项重要基本功，也是培养学生思维能力的重要一环， 我们在解题时，根据题目特点选择去妙解、巧解，从而达到事半功倍、省时省力的效果。

【关键词】代数式求值；巧用方法；能力培养

數学课标明确指出：数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和创造力等方面有着独特的作用。代数式的求值是初中代数中的重要内容之一，是学好数学的一项重要基本功，也是培养学生思维能力的重要一环，其应用十分广泛，技巧性很强，在各种类型的考试中，代数式的求值是常见的命题题型.下面根据题型举例说明代数式求值的几种技巧。

一、巧用整体

例1、已知1x 1y=3，求代数式 的值。

解：已知等式化为x-y= 3xy，则原式= = =35

例2、已知当x= 2时，代数式ax3+bx+1的值为6，那么当x=2时，求代数式ax3+bx+1的值。

解：∵当x= 2时，代数式ax3+bx+1的值为6

∴-8a-2b+1=68a+2b= 5

∴当x=2时，有ax3+bx+1=8a+2b+1= 5+1= 4

二、巧用乘法公式

例3、已知a+b=2，求代数式a3+6ab+b3的值。

解：由a+b=2，得a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）=2（a2-ab+b2）

则原式=2（a2-ab+b2）+6ab=2（a2+2ab+b2）=2（a+b）2=8

三、巧用方程组

例4、已知3x-4y-z=0，2x+y-8z=0，求代数式 的值。

解：以x、y为主元，已知两等式化为3x-4y=z2x+y=8z 解得x=3zy=2z

则原式= =1

四、巧用降次

例5、已知x2+4x-1=0，求代数式2x4+8x3-4x2-8x+1的值。

解：由已知等式得x2+4x=1

则原式=2x2（x2+4x） 4x2 8x+1=2x2 4x2 8x+1= 2（x2+4x）+1= 1

五、巧用因式分解

例6、若（x+y）（x+2+y） 15=0，求代数式x+y的值。

解：已知等式变为（x+y）2+2（x+y）-15=0

∴（x+y+5）（x+y-3）=0

∴x+y= 5或x+y=3则原式的值为 5或3

六、巧用常数

例7、已知abc=1，求代数式 的值。

解： =

= =

= =

例8、已知ab=1，a≠ 1，求代数式11+a+11+b的值。

解：由ab=1得1= ab，

则原式= + = + =1

七、巧用取特殊值

例9、若x3 2x2+ax+b除以（x-2）（x+1）所得的余式为2x+1，求代数式a+b的值。

解：设已知多项式除以（x-2）（x+1）的商式为m，那么x3 2x2+ax+b=m（x-2）（x+1）+2x+1，

就上式分别取x=2和x= 1，有2a+b=5-2+b=2

∴a=1，b=3，则原式等于4

八、巧用二次根式有意义的条件

例10、若x、y都是实数，且 + +y=4，求代数式xy的值。

解：根据二次根式的定义，得2x-1≥0，1-2x≥0

∴2x-1=0 则x= ，y=4

∴xy=2

九、巧用平方或平方后开方

例11、已知x=1+5，求代数式x3-2x2-4x-5的值。

解：将x-1=5两边平方得：x2-2x-4=0

则原式=x（x2-2x-4） 5= 5

例12、若a>1，且a+1a=11，求代数式a 1a的值。

解：由a>1知a 1a>0

则原式=（a 1a）2=（a+1a）-2=3

十、巧用非负数的和为零

例13、若 +b-2+（m-21）2=0，求代数式（a+b）m的值。

解：由 ≥0，b-2≥0，（m-21）2≥0得

a+3=0b-2=0m-21=0

∴a= 3 b=2 m=21

则原式= 1

十一、巧用换元

例14、已知 + =322，求代数式 + 的值。

解：设 =a =b 那么a+b=322ab=1

则原式=（a+b）2-2ab=52

十二、巧用配方

例15、已知a-b=3+2 ，b-c=3-2，求代数式2（a2+b2+c2-ab-bc-ac）的值。

解：已知两式相加得a-c=23

则原式=（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（a2-2ac+c2）=（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2

=（3+2）2+（3-2）2+（23）2=22

十三、巧用方程

例16、已知a≠b，且a2-3a+1=0，b2-3b+1=0，求代数式 + 的值。

解：∵a2-3a+1=0，b2-3b+1=0，且a≠b

∴a、b为方程x2-3x+1=0的两实根，则有a+b=3，ab=1

∴原式= + = =1

十四、巧用比例的性质或比例系数

例17、已知 ，求k的值。

解：若a+b+c≠0，由比例的性质得 =

若a+b+c=0，则b+c= a，a+c= b，a+b= c，所以k= 1

例18、已知： ，求代数式 的值。

解：设 ，则x=5m，y=3m

∴原式= =

十五、巧用倒数

例19、已知a、b、c为实数，且 ，求代数式 的值。

解：将已知三个分式分别取倒数得：

即

将三式相加得； ，通分得：

即 =

十六、巧用字母归

例20、若x+y+z=3y=2z，求代数式xx+y+z 的值。

解：依题意得

（1）+（2）得2x+2y+2z=3y+2z，即y=2x，（4）

把（4）代入（3）得2z=6 x，即z=3 x，

∴x+y+z=6x，

∴xx+y+z =x6x =16

总之，求值的方法还有很多，我们在解题时，要根据题目特点选择最经济的方法，去妙解、巧解，从而达到事半功倍、省时省力。但“巧”和“妙”是有条件的，这就要求在平时学习过程中熟练掌握基本概念、性质，加强相关练习，不断积累总结，只有这样，才能得心应手。