考虑DG运行不确定性的复仿射Ybus高斯迭代区间潮流算法

王树洪，邵振国

（福州大学 电气工程与自动化学院，福建 福州 350116）

0 引言

分布式电源（DG）易受气象影响，输出功率具有随机性和间歇性，因而配电网潮流具有明显的不确定性特征。配电网规划和调度需要分析研究不确定性潮流算法，当前主要提出了模糊数学法［1-3］、概率潮流法［4-9］及区间分析法［10-13］。 由于工程中难以获得不确定性参数的隶属函数或概率密度，只能近似处理或人为设定，导致计算结果出现较大偏差。相对而言，获取不确定性参数的区间值较为简便、准确。因此采用区间数形式描述分布式电源的不确定性并计算有源配电网的区间潮流，具有更好的工程应用价值。

基于区间数计算法则的区间潮流结果存在超宽度问题［10-11］，降低了算法实用性。 文献［14-16］因此将仿射数学运用到区间潮流计算中，在一定程度上压缩了解的范围，计算结果更加精确。然而文献［14］的迭代过程只是部分采用仿射，没有完全发挥仿射的作用。文献［15-16］完全采用仿射进行迭代，却只求出节点电压的实部区间和虚部区间，没能得到节点电压的幅值区间和相角区间。

上述研究表明，仿射比区间运算能得到更准确的结果，但基于仿射迭代的区间潮流计算仍存在几个问题：如果严格遵循仿射运算法则，噪声元数量会不断增加，降低潮流计算速度；随着噪声元数目增加，如果迭代过程中各节点电压没有同时更新，如高斯-赛德尔迭代法和前推回代法，则需要记录大量新增的噪声元，给编程带来困难；迭代得到的直接结果是节点电压复仿射形式，而在工程运用中更需要知道的是节点电压的幅值区间和相角区间，如何实现前者向后者的准确转换，目前尚无这方面的研究。

鉴于此，本文采用复仿射描述分布式电源的不确定性，建立了复仿射迭代形式的Ybus高斯区间潮流方程，迭代过程中各节点电压更新步调一致，编程简便。迭代过程中合并同一非线性运算产生的噪声元，降低噪声元数量。在收敛后构建节点电压的复仿射多边形，提出电压幅值区间值和相角区间值的计算方法。IEEE 33节点系统算例结果表明，与基于区间数Ybus高斯法和蒙特卡罗模拟法相比，本文方法的迭代过程直观简便，节点电压幅值区间值和相角区间值计算准确，兼顾了区间潮流计算的效率和精度要求。

1 仿射数学及其运算

在仿射算术中，仿射是由有限个噪声元线性叠加而成的不确定量［17］，即有：

其中，εi为噪声元，范围为［-1，1］；xi为系数，代表了噪声元εi所对应的不确定量的大小；x0为中心值；n为噪声元个数。

1.1 实数域的仿射运算

仿射运算分为线性运算和非线性运算［18-19］，其中线性运算包括加法、减法和数量乘法运算，计算时不产生新的噪声元。

其中，λ为任意实数。

非线性运算主要包括乘法、除法、倒数、平方等运算，计算时会产生新的噪声元。

除法运算可以分解为乘法运算和倒数运算，此后采用切比雪夫逼近近似倒数运算，如式（4）所示。

其中，a、b分别为仿射所对应区间数的下、上限。

平方运算的计算公式如式（6）所示。

1.2 复数域的仿射运算

复仿射中噪声元的系数为复数，线性运算法则和实仿射相同。本文结合文献［20-21］的方法，将复仿射乘法定义为如式（7）所示。

其中，对任一个复数 z=r+jx，函数 f（·）定义为 f（z）=

复仿射除法可以分解为仿射的乘法、平方及倒数运算。

仿射可以通过含有相同的噪声元考虑不确定量之间的相互联系，因此采用仿射形式计算能得到比采用区间数运算更好的结果。区间潮流计算中需要进行多次迭代，若用区间数运算会使超宽度问题越来越严重，最终使解不可用。

复仿射运算对不确定性潮流计算结果的影响有两方面：一是对解的完备性的影响，也就是仿射潮流的运算结果是否能够完全包含实际的潮流变化范围；二是对解的保守性的影响，也就是仿射潮流的运算结果是否会远远大于实际的潮流变化范围，而使得计算结果不可用。以上复仿射运算法则能够保证解的完备性，而解的保守性通常采用蒙特卡罗潮流来检验。

1.3 复仿射多边形

命题1：如果x1、…、xn在复平面上互不平行，则复仿射的变动区域是复平面上关于x0中心对称的凸2n边形。

设则记在复平面上的变动区域为Si。

如果Si-1在复平面上的位置已经确定，那么Si可以由Si-1拓展得到。拓展方法是：以Si-1边界为起点画矢量 xiεi；εi取极值 1 或 -1，使得 xiεi位于 Si-1外部；在Si-1边界上移动矢量xiεi，则其末端轨迹即为Si的边界。

i=1时，在复平面上的变动范围是以x0为中心的线段 A1B1。 因为噪声元 ε1∈［-1，1］，所以 A1B1的长度等于，角度由 x1决定，如图1（a）所示。

i=2 时，有当 x2ε2沿线段 A1B1移动时，S2以线段A1B1为中心向两侧拓展。当ε2取极值1或-1时，S2的边界是平行四边形A2B2C2D2，边长A2D2、B2C2的角度由 x2决定，如图1（b）所示。因此，当i=2时，2在复平面上的变动范围是以x0为中心对称的凸四边形。

同理，当i=3时，S3沿四边形A2B2C2D2的边向外拓展为凸六边形A3B3C3D3E3F3，如图1（c）所示。

其中，边长

反复拓展后，Sn为凸2n边形，边长分别为如图1（d）所示。

在以上拓展过程中，如果xi与x1、…、xi-1中的某一个平行，则该次拓展后的Si边数不会增加，仍然与Si-1的边数相等。因此有以下真命题。

命题2：如果x1、…、xn在复平面上可分为互不平行的 M 组，则复仿射的变动区域是复平面上关于x0中心对称的凸2M边形。其2M条边两两平行且等长，边长是对应分组中所有噪声元系数模值之和的2倍。

命题2的推导过程和命题1是类似的。

由命题1和2可知，在迭代收敛后就可以由电压复仿射构建对应的复仿射多边形。

2 基于复仿射的Ybus高斯潮流迭代方法

目前求解区间潮流主要有Krawczyk-Moore区间迭代法［11，14］和前推回代迭代法［10，15-16］，前者需要求解区间雅可比矩阵，过程较为繁琐，后者节点编号较为麻烦，编程不简便。本文在复仿射形式下用Ybus高斯法［22］进行迭代，过程直观，编程简便。

图1 构造复仿射多边形Fig.1 Construction of complex affine polygon

2.1 Ybus高斯迭代

电网节点电压方程的分块矩阵形式如式（9）所示。

解得：

其中，U为节点电压；I为节点注入电流；t为电网节点总数，节点t是平衡节点；Yot和Yto为节点t和其他节点之间的互导纳构成的分块矩阵，互为转置；Ytt为节点t的自导纳；Y为整个电网节点导纳矩阵除去Yot、Yto、Ytt后的分块矩阵。

将式（11）的节点注入电流代入式（10），得到如式（12）所示的复仿射迭代计算式。

其中分别为节点 i的注入电流、节点电压、注入有功功率、注入无功功率、注入复功率；上标（k）表示第k次迭代的结果；Yij为节点i、j之间的互导纳。

受负荷波动及分布式电源出力的影响，配电网中各节点注入功率具有不确定性，因而节点i注入功率的复仿射形式为：

其中，0i为节点注入功率复仿射中心值；εi、γi分别为节点i注入有功功率波动和无功功率波动的噪声元；若节点i注入功率恒定，则pi、qi都为0。可见，复仿射i所表示的不确定域是复平面上的一个矩形。

2.2 噪声元合并

电压的不确定性是由节点功率不确定引起的，所以电压复仿射自然就含有功率仿射中的噪声元，应该采用与功率仿射相同的噪声元来描述电压仿射初始值。若节点数为t的网络中有m个节点的注入功率是波动的，则电压仿射初始值为：

其中，kl（l=1，2，…，m）为第 l个功率波动节点的节点编号。

复仿射迭代过程中的非线性运算会产生新的噪声元。一次潮流迭代中，式（12）每个迭代式右侧的除法运算转换为2次实仿射平方运算、1次实仿射倒数运算及2次复仿射乘法运算，各新增一个噪声元。共有t-1个迭代式，那么迭代g次后每个电压复仿射中含有的噪声元数量N为：

式（15）表明噪声元数量与节点数成正比，将极大地影响大型电网的计算速度。

在每次迭代计算后，本文将2次平方运算所产生的2（t-1）个噪声元合并为一对，倒数运算所产生的t-1个噪声元合并为一对，第1次乘法运算产生的t-1个噪声元合并为一对，第2次乘法运算产生的t-1个噪声元合并为一对。合并后的每对噪声元系数分别为实数和虚数。则一次迭代结束后，电压复仿射只会增加8个新的噪声元。

迭代g次后电压仿射中含有的噪声元数量N为：

可见，在合并同类运算噪声元后，迭代过程中噪声元数量大幅减少，将有效提高潮流计算效率。

噪声元合并对计算结果的影响也体现在完备性和保守性两方面。

由命题1，复仿射变动区域是复平面上的一个凸中心对称多边形，其形状与噪声元的数目和系数有关。因此噪声元合并对计算结果的影响也就表现为对复仿射多边形形状的影响。如果g次迭代后，节点i的电压复仿射在复平面上的变动区域为S1，某个非线性运算对其增加t-1个噪声元后的变动区域为S2，那么根据命题1中对复仿射多边形的推导过程，显然S2完全覆盖了S1。把t-1个噪声元合并为2个噪声元，就是只对S1新增2个噪声元得到覆盖区域S3。如果合并后新增噪声元的系数使得S3恰好完全覆盖S2，那么这个合并过程只增加了第g次迭代解的保守性而没有影响完备性。

在第g次迭代得到同类非线性运算的一组噪声元系数后，将这些噪声元的系数分别取实部和虚部，取所有实部的绝对值之和作为一个噪声元的系数，取所有虚部的绝对值之和乘以虚数单位作为另一个噪声元的系数，可以保证合并过程不会破坏解的完备性。

此外，为了保证合并过程不会影响下一次迭代解的完备性，在矩阵与仿射列向量的乘法运算中，首先按仿射数量乘法和仿射加法法则计算t-1个噪声元的系数，此后保留结果的实部和虚部符号不变，将仿射加法改为按系数模值相加，用新的结果替换原数值，从而保证运算结果的复仿射多边形拓展到更宽的区域，以避免噪声元合并影响下一代迭代解的完备性。

2.3 算法流程

采用合并噪声元后的复仿射潮流迭代算法如下。

步骤1：输入网络参数和波动分布式电源参数。

步骤2：按式（14）设置节点电压复仿射初始值。

步骤3：按式（12）进行潮流迭代计算。

步骤4：判断是否满足收敛条件，若不满足收敛条件，则返回步骤3。

步骤5：构造电压复仿射多边形，由复仿射多边形求得节点电压幅值区间值和相角区间值。

当迭代结果满足如式（17）所示的收敛条件时停止迭代过程。

其中，Δ为一个很小的正数，取为分别为第k次迭代后节点i电压的实部下限、实部上限、虚部下限、虚部上限。

3 电压复仿射到区间数的转换

以上潮流迭代收敛后，得到的结果是节点电压复仿射，需要转换为电压幅值区间值和相角区间值。

在复平面上，复仿射的变动区域是凸多边形，因此复仿射幅值最大、相角最大、相角最小所对应的点一定是凸多边形的顶点。如图2所示分别表示电压复仿射的幅值下限和上限，分别表示的相角下限和上限，u0为电压复仿射中心值。

U所对应的点不一定是距离原点最近的凸多边形顶点，也有可能位于距离原点最近的一条边上。如图3所示，图中点A即为最小幅值所对应的点，U等于线段AO的长度。

在画出复仿射多边形以后，就可以如图2、图3计算节点电压的幅值区间值和相角区间值。

图2 电压复仿射多边形示意图Fig.2 Schematic diagram of voltage complex affine polygon

图3 求取相切情况下的幅值最小值Fig.3 Minimum amplitude in tangent condition

4 算例分析

以图4所示的IEEE 33节点系统为例对比本文方法（记为CAA-Ybus）、基于Ybus高斯迭代和区间算术的方法（记为RR-Ybus）、蒙特卡罗模拟法（抽样次数为104次）的计算结果。网络参数见文献［23］，并在节点21、24、17、32接入分布式电源，分布式电源参数如表1所示。分布式电源处理为PQ节点，功率因数为0.95。平衡节点电压为1 p.u.。

图4 含分布式电源的IEEE 33节点系统Fig.4 IEEE 33-bus system with DGs

表1 分布式电源的波动参数Table 1 Fluctuation parameters of DGs

采用蒙特卡罗潮流算法检验CAA-Ybus法的解的完备性。

以节点1为例，图5中多边形是CAA-Ybus法计算得到的电压复仿射多边形，数据点是蒙特卡罗法的模拟计算结果，图中电压相量实部、虚部均为标幺值，后同。

图5 节点1电压复仿射和蒙特卡罗计算结果Fig.5 Node-1 voltages calculated by complex affine and Monte-Carlo

图5中多边形完全包含了数据点，并且十分贴近数据点域，说明CAA-Ybus法计算结果具备完备性和准确性。由于电压复仿射中大部分噪声元的系数非常小，所以图中多边形近似为四边形，局部放大可以发现是多边数的图形。

仍以节点1电压计算结果为例，图6中分别是合并和不合并噪声元所对应的电压复仿射多边形。不合并噪声元时，复仿射多边形相对圆滑柔和；合并噪声元时，复仿射多边形相对棱角分明。但从总体来看，合并过程没有影响解的完备性，最后得到的节点电压幅值区间和相角区间也是极为接近的。

图6 合并噪声元对结果的影响（节点1电压复仿射）Fig.6 Influence of noise element merging on results(complex affine of Node-1 voltage)

此后从CAA-Ybus的复仿射计算节点电压幅值区间值和相角区间值，并与RR-Ybus法、蒙特卡罗法的结果对比，如图7、图8所示，图7中电压幅值区间为标幺值。

图7 3种方法的节点电压幅值区间Fig.7 Voltage amplitude intervals calculated by three methods

图8 3种方法的节点电压相角区间Fig.8 Voltage phase-angle intervals calculated by three methods

从图7、图8可以看出，RR-Ybus法的结果区间值超出蒙特卡罗法结果较大，因而过于保守。相比之下，本文方法的结果区间值都刚好包含蒙特卡罗方法的区间值，而比RR-Ybus方法得到的区间值要窄很多，因而更为准确。

5 结论

由于不能忽略分布式电源出力的不确定性，配电网的调度运行中需要首先求解不确定性潮流，从而解决分布式电源并网的优化运行问题。采用复仿射形式的区间潮流算法具有参数获取简便、准确的优点，但计算速度受噪声元数量影响很大，且计算结果为复仿射形式，难以转换为区间值。

本文提出了复仿射迭代形式的Ybus高斯区间潮流算法，通过合并同一运算产生的噪声元提高区间潮流计算速度，通过构建复仿射多边形以便更准确地计算电压幅值区间值和相角区间值。与此前方法相比，本文方法很大程度上克服了区间潮流的保守性问题，得到的区间值更接近真实结果。IEEE 33节点系统的结果对比验证了本文方法的有效性和准确性。

本文方法的优势首先在于复仿射运算的应用，其次是噪声元的合并，再次是电压复仿射到区间值的求解方法。这3个元素也可以应用到其他不确定性潮流算法中，本文采用Ybus高斯迭代是因为其编程实现过程更简单方便。

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