一道中考试题的教学思考

李文英

应州里一中学初三数学组的邀请，笔者听了一节习题课。课题名称是：一元二次方程的根的定义及其应用。这一内容主要是关于一元二次方程的根的概念，重点是韦达定理的应用。整堂课共设计了7道试题，分三个层次，第1、2、3题为基本要求试题，第4、5题为较高要求试题，第6、7题为拓展试题。课堂完成到前两个层次。

韦达定理是教材中的选学内容，一般学生基本可以接受。中考很多时候会涉及，所以学校现在都把这部分内容作为必修了。本节课在教师的引导下，学生课堂反应积极，效果很不错，前三道试题的正确率很高，应该算是一堂常规意义上的好课。不足之处是试题多，方法单一，教师对解题思路的引导不足，缺少方法和思想上的提升，导致学生在处理第4、5题的时候出错比例很高。学生出错的关键是找不到切入口，思维不缜密，甚至在老师讲解之后，还是感觉像勉强接受。这促使笔者有了许多思考。

我们看看其中的第5题：

通过网上搜索，笔者发现这是山东德州2014年的中考第16题（前12道为选择题，填空题5道，这是填空题的倒数第二个，命题人认为应该是较难试题）。搜索到网络上的解答（原试题只提供填空题答案，很多网站的解析几乎都是一样的解答，可见网络上基本都是拿别人的照搬了上传）：

执教老师的试题中缺少实根的实字。虽然初中生看不出，但是作为老师，已经受过大学数学的严格训练，这个字的遗漏是不对的。因为没有这个实字，答案就是两个解了，也就不需要讨论判别式，所以德州试题的题设严谨。在初中阶段，实根中的实字不能漏掉，也不要给学生解释，这是为高等数学留的尾巴，也是教师数学素养的体现。

既然课题是根的定义的应用，那么有些时候解题回到定义也是有意义的。比如这里，直接运用根的意义解题也很有意思：由x12+2kx1+k2-2k+1= 0，x22+2kx2+k2-2k+1=0，两式相加，再x12+x22=4及x1+x2=-2k，很容易得到关于k的方程。我们在很多相关书籍里看到的这类试题都是像以上解答那样借用乘法公式进行变式。其实直接利用根的意义进行变形也是很顺畅的一种思路，希望其他老师解答的时候可以多试试各种可能的变形手法，拓展学生的思维。教材上，韦达定理是从求根公式得出。实际上，直接用根的意义，将ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0两式相减，可得两根之和；再将两式相加，运算后可得两根之积。这应该是更本质的根与系数关系。如果是初中教学，当然这里应该加几个字：所讨论的一元二次方程存在两个实根。

一堂课用基本相同的方法解决很多道试题，是加深学生印象的方法之一，也有很好的复习效果。同样，用多种方法和想法解决一个典型问题，对发展学生的解题能力和思维能力也是很有实际意义的，教学中不能忽视。

其实这道试题作为填空题，出得有点儿狠！因为填空题只看结果给分，稍微错一点儿，整道试题的分就没了。本题中，解方程只解出一个解，正好符合要求，皆大欢喜。可如果得到的是那个必须去掉的根，岂不是非常冤枉？而如果直接填写两个k值，失掉了整道试题的成绩，岂不是更冤得像窦娥？命题老师把考试重心放在判别是不是存在实根这个点上，动机有点不纯。如果真喜欢这道试题，是不是可以进行这样的处理：首先，命制成一道大题，那就可以通过对过程的分析，对学生的解题步骤给予肯定，失分和得分就都有明确的判断，考查学生的学习情况也有了落脚点。对好学生、中等学生、后进生也可以通过本题在相关知识和能力上予以区分。至于更理想的命制方式，个人认为可以作为两问来出题：

方程x2+2kx+k2-2k+1=0有两个实数根x1，x2，

1.求k的取值范圍；

2.若x1，x2满足x12+x22=4，求k的值。

这样命制试题，既可以考查学生对韦达定理的应用，也可以看出学生对有根的条件的把握，还可以考查学生的变形能力、计算能力、思维能力、综合评判能力，可谓一题多得。

（作者单位：湘西土家族苗族自治州教科院）