“思维可视化”视域下小学数学课堂之重建

名师档案

张齐华，南京市北京东路小学副校长，高级教师，江苏省数学特级教师，《江苏教育》《小学教学》等刊物的封面人物。一直致力于数学课堂文化的探索与实践，曾代表江苏省参加全国小学数学专业委员会第七届教学观摩大赛荣获一等奖，《人民教育》《小学教学》先后对其在数学文化领域的探索进行专题报道，2007年《中国教育报》专题报道了其数学课堂系列教学艺术。参与苏教版小学数学教材的编写，200多篇教育教学论文在省级以上刊物发表，《张齐华与小学数学文化》2010年由北京师范大学出版社正式出版。

【摘要】发展学生的数学思维，是数学教学的根本任务，是核心素养背景下数学教育的关键诉求。借助精确加工、问题驱动和深度对话，可以唤醒文本的思维可能、激活思维的内在动力、引领思维的纵深发展，让思维真正发生。要善于调动学生的多重感官，参与到思维的发生、发展和表达过程中来，用直观的图形表征抽象的思维，在动手操作与实践中展现思维的过程，在语言表达中外化学生的思维，让思维“看得见”。

【关键词】思维可视化；画图；操作；表达；让思维看得见

【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2017）25-0048-03

【作者简介】张齐华，南京市北京东路小学（南京，210008）副校长，高级教师，江苏省数学特级教师。

数学，是思维的体操。通过数学学习，发展学生的数学思维，是数学教学的根本任务，也是核心素养背景下数学教育最关键的价值诉求。

然而，思维看不见。

不仅抽象思维看不见，形象思维，我们同样看不见。面对“大脑”这一思维得以发生的最深不可测的“黑匣子”，我们的数学教学如何借助相应的教学手段和方法，让看不见的思维“可视化”，成为数学教师、学习同伴可以观察、把握、触摸的对象？我们的数学课堂需要重建。

一、让思维真正发生——思维可视的基本前提

没有思维的真正发生，何谈思维的可视化？

数学是思维的产物，但数学一旦以思维产物的形式固化下来，成为数学学习的对象时，它的存在，却未必一定能引發儿童的思维。

因而，对数学文本进行教学意义上的再加工，以问题引领儿童展开真正的数学思维，在对话过程中引导思维向纵深推进，是数学教学引发思维的基本要义。

1.精准加工，唤醒文本的思维可能。

好的数学文本一定具有引发思维的可能性。但可能性如何转化为现实，引发学生的有效思维，我们需要对文本进行适切儿童心理规律与年龄特点的精准加工。比如，苏教版三下《小数的初步认识》一课，如果教师仅仅将小数视为十进分数的另一种表达，视为数学上的一种人为规定，那么，其所内涵的思维空间便会被窄化与压缩。稍作调整，我们不妨给学生呈现如下学习文本：“0.3元表示什么？用你自己喜欢的方式表示出你对它的理解。”开放的文本呈现给学生创造了巨大的思维可能，并展现出不断拓展、充满创造的思维空间。可以想见，由于学生已经积累了0.3元与3角、3角与元之间的关联性经验，因而，他们完全有能力通过语言文字、直观图、示意图等，创造性地表达并建构“0.3元”的数学意义，从而获得思维的发展。这一过程中，开放的文本空间、有效的任务驱动，唤醒了文本的思维可能，让文本真正成为思维的引擎。

2.问题驱动，激活思维的内在动力。

不是所有的问题都能引发学生的思维。好的数学问题，应尽可能来自学生，具有更大的思维空间，能引发学生的思维冲突，进而在认知平衡与失衡之间激活思维的内在动力。例如，苏教版五下《圆的认识》一课，由于知识点繁杂，师生易被知识束缚，忽略知识背后的思维诉求。教学时，不妨从旧知中引出新问题：长方形的大小由长与宽决定，正方形的大小由边长决定，圆的大小又是由什么决定？对于学生而言，这是一个具有巨大探索空间与思维挑战的问题。此时，倘若教师能够引导学生边操作、边感受、边猜想、边体会，他们或许会在圆规画圆的过程中破解这一秘密，进而发现圆规两脚的距离就是半径，无数条半径长度都相等，因而，一条半径即可决定圆的大小。在这里，繁杂的知识点因为一个开放性的大问题而得以有效统整，思维也在问题驱动下得以充分激发与展开。

3.深度对话，引领思维的纵深发展。

没有碰撞就没有思维的推进，没有对话就没有思维的砥砺。当学生经由独立思考，形成自己的见解后，如何引导他们在分享、对话、质疑、辨析中求同存异、谋求共识、建构意义，是推动学生思维向纵深发展的重要路径。

例如，教学苏教版六下《用方向和距离确定位置》一课时，我放弃了教材“简单呈现”的教学路径，而是大胆地将学生抛向问题的中心：在平面图中给出灯塔与遇险船只的位置，引导他们以灯塔为观测点，自己想办法描述、确定船只的具体位置。不同的学生因经验多少、思维深浅的差异，可能提出不同的解决方案。比如，有些学生受“用数对确定位置”经验的影响，借助数对来刻画船只的位置；有些学生关注了方向和距离但忽略了角度；有些学生关注了方向和角度又忽略了距离；有些学生关注了距离又忽略了方向；有些学生既关注了方向、角度，又关注了距离，但在确定角度上出现了分歧等。此时，教师不必急于出面解决纠纷，而应将问题重新抛给学生，引导学生展开对话，或为自己的观点辩护，或向同伴提出质疑，或在比较中发现差异，或在协商中寻求共识。事实上，真正的思维正是在这样深度、多维、开放的对话过程中得以展开和深化的。

二、创新教学路径——让数学思维“看得见”

让思维“看得见”本身并非目的。借助可视化的数学思维，教师能够透过头脑这一“黑匣子”，发现儿童数学思维的本来模样，并借此对学生的数学思维过程进行引导，优化学生的数学思维发展路径，提升数学思维品质。

让思维“看得见”，我们需要调动学生的多重感官，参与到思维的发生、发展与表达过程中来，用直观的图形表征抽象的思维，在动手操作与实践中展现思维过程，在语言表达中外化学生的思维。

1.“画”下来，讓思维触手可及。

思维是人类所具有的高级认识活动，是对新输入信息与脑内储存知识经验进行一系列复杂的心智操作过程。如何让内隐的心智操作过程外显化，画图是简洁、易行的方法之一，是学生表征思维、教师“观察”学生思维行之有效的方法。

例如，教学苏教版五上《认识负数》一课时，教师引导学生用直观图表示出对“-2层”“-5℃”“-155米”的理解。结果，不同的学生呈现出不同的表征方式。以“-5℃”为例，有些学生画了冬天下雪的画面并配以-5℃字样；有学生画了温度计，但温度计上只有-5℃这一个温度；有学生同样画了温度计，但在温度计上不仅有-5℃，还有0度甚至+5℃的字样；更有学生只画了抽象的一条竖线，并在竖线上标上0℃、-5℃和+5℃等。显然，第一类学生对负数的理解还停留在感觉的层面，未能从数学的角度对-5℃作出阐述；第二类学生则有了一定的直观思考与定量表达，但他们对负数的意义、负数与0的关系、相反意义的量等的认识还比较模糊；相比较而言，第三类学生对负数的理解已经相对清晰，对负数与0及正数的关系有了比较准确的把握；而第四类学生，在前一类学生的认识水平之上，又有了新的发展，并提升到相对抽象和概括的水平。小小的示意图，外化并折射出学生不同的思维线索、路径和水平，这些给教师了解学生的思维现状，进而作出有针对性的引导提供了可靠的技术支持。

2.动手“做”，让思维有迹可循。

数学思维不是孤立的，它往往伴随着具体的数学活动而展开。教学时，通过引导学生动手“做”数学，在操作、演示、实验、实践的过程中，教师可以有机会“观察”学生的思维路径、方向与状态，灵活调整自己的教学，以更好地培养、发展学生的数学思维。

例如，教学苏教版一上《认识11～20的数》一课时，学生如何用小棒准确表征对11～20各数的理解，是本课教学的关键。教师可以引导学生自己动手摆一摆、画一画，在操作过程中探寻学生思维的轨迹。比如，对于“画图表示12”这一学习任务，有些学生会零散地画出12根小棒；有些学生则会把10根画一起，在边上再画出2根；有些学生则会把10根捆成一捆；而有些学生则会用一根长的小棒表示1个十，用2根短的小棒表示2个一；更有学生会直接画出简易的计数器，在上面用3颗珠子表示出12这个数。不同的画法，折射出的恰是学生不同的思维水平——有些学生的思维还处在前结构化水平，他们对于“满十进一”的计数规则还没有清晰的认识；有些学生则在这方面相对要前进很多；至于能够创造性地用长的小棒表示1个十，或者能够自觉想到在计数器上用珠子表示数，他们的思维显然已超越了一年级学生的应有水平，对于位值制也有了初步的感受。教师可以组织学生进行比较，在沟通、对比中寻找最好的表达方式，并在相互借鉴、学习的过程中，提升自己的理解、认识与思维水平。

3.“说”出来，让思维动态展现。

语言是思维的外化。借助语言，我们可以将思维展现出来。语言，是教师了解学生思维水平、方向和动态的最好载体。数学教学过程中，教师要克制自己“教”“说”的欲望，尽可能给学生创造更多表达的时间和空间，学生自主表达、自由表达、充分表达，并在对话、沟通、质疑、答辩的过程中，展现、发展和提升思维。

例如，教学苏教版五下《圆的认识》一课，鉴于朴素的数学直觉，几乎所有学生都能够给出“半径无数条、长度都相等”的结论。然而，当教师进一步追问“为什么半径有无数条，你是怎么思考的”，学生的思维往往会出现困难。此时，教师不妨引导学生先独立思考，然后在团队中交流自己的想法，学生或许在相互碰撞中能得到启发。此时，再引导学生把自己的思考表达出来，教师就有了倾听、了解学生思维的良好契机。有学生可能会提出把圆对折、再对折，这样就可以得到2条、4条、8条半径，因为永远都折不完，所以半径就有无数条；有学生会提出，圆有无数条对称轴，每条对称轴中都包含着两条半径，所以圆有无数条半径；有学生可能会提出在圆上画半径，而半径是永远画不完的，所以圆有无数条半径；有学生提出，圆上有无数个点，每个点都对应着一条半径，所以半径有无数条；也有学生会提出，画出半径后，可以把半径旋转1度、再旋转1度，这样就可以画出360条半径，进而，如果每次旋转的度数缩小10倍、100倍、1000倍……这样，我们就可以得到无数条半径。透过学生的语言表达，我们不难发现，每一种表达的背后，都隐含着某一种思维假设。这些，都给教师触摸学生的思维轨迹创造了极佳的条件。

当然，学生的语言背后，也存在着一些思维的漏洞与盲区，如果教师能够顺利捕捉，进而在追问中引导学生深入展开思考，学生的思维就有可能得到有效的提升。上述问题因为涉及无限，因而对多数学生而言有相当思维难度。当学生提出永远折不完时，教师是否可以现场演示一下对折的过程，让学生意识到，我们只要对折6～7次就已经对折不下去了，从而引导学生从“实物的对折”向“思想的对折”迈进，最终在头脑中完成对相关问题的把握。当学生提到，我们可以不停地画下去时，教师不妨展示“已经画满半径的圆”，并对“能够画出无数条半径”提出质疑，逼迫学生的思维向纵深处开掘，进而反思点可以无限小、线可以无限细，从而真正对圆为何会有无数条半径获得深刻的把握。

可以说，语言给了学生展现思维的机会，也给了教师把握学生思维的机会，更给了教师引导学生的思维由零散走向结构、从肤浅走向深刻的机会。我们的数学教学，要关注学生的语言，并透过语言“看到”学生的思维，引领学生的思维发展。